CAP · Chapitre 5

Fonctions

Cours de CAP sur les fonctions : image, antécédent, tableau de valeurs, lecture graphique, variations et fonction linéaire. Exemples métier et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · CAP - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Combien coûtent 7 kg de fruits sur un étal ? Quel chiffre d’affaires correspond à tel mois sur la courbe d’une boutique ? Une fonction est une machine à calculer : tu lui donnes un nombre de départ, elle te renvoie un seul nombre de résultat. Savoir lire un graphique, compléter un tableau de valeurs et reconnaître une fonction linéaire te servira tous les jours, en cuisine comme en commerce.

À la fin de ce chapitre, je sais...

lire l’image d’un nombre et trouver un antécédent sur un graphique ou dans un tableau ;
comprendre et utiliser la notation $f(x)$ ;
compléter un tableau de valeurs d’une fonction ;
décrire les variations d’une courbe (croissance, décroissance, palier, maximum) ;
reconnaître et utiliser une fonction linéaire (proportionnalité).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Une fonction, tu en croises sans arrêt sans le savoir.

Le prix à payer dépend du nombre d’articles : c’est une fonction.
Le coût d’électricité dépend du nombre de kWh consommés : tu peux le lire sur un graphique.
La température d’un four dépend du temps : sa courbe monte, fait un palier, puis descend.
Le chiffre d’affaires d’un food-truck dépend du mois : la courbe te montre d’un coup d’œil le meilleur mois.

Bref, dès qu’une quantité dépend d’une autre, une fonction se cache derrière.

1. La notion de fonction

Fonction, image et antécédent

Une fonction $f$ est un procédé qui, à un nombre de départ, associe un seul nombre d’arrivée.

On note $f(x)$ (lire « $f$ de $x$ ») le nombre d’arrivée associé au nombre de départ $x$ .
Ce nombre d’arrivée $f(x)$ s’appelle l’image de $x$ .
À l’inverse, $x$ est un antécédent de $f(x)$ .

Par exemple, si $f(3) = 12$ , alors $12$ est l’image de $3$ , et $3$ est un antécédent de $12$ .

Une fonction de tous les jours

Sur un marché, une barquette de fraises coûte $4$ €. Pour $x$ barquettes, le prix est $f(x) = 4 \times x$ .

L’image de $3$ est $f(3) = 4 \times 3 = 12$ . Donc $3$ barquettes coûtent $12$ €.
Un antécédent de $20$ : je cherche le nombre $x$ tel que $4 \times x = 20$ , c’est $x = 5$ . Donc il faut $5$ barquettes pour payer $20$ €.

« Image » = je connais le départ, je cherche le résultat. « Antécédent » = je connais le résultat, je cherche le départ.

Image et antécédent : ne pas les confondre

On lit $f(2) = 10$ .

FAUX : « $2$ est l’image de $10$ . »

VRAI : $10$ est l’image de $2$ (le résultat), et $2$ est un antécédent de $10$ (le nombre de départ).

Astuce : dans $f(2) = 10$ , le nombre entre les parenthèses ( $2$ ) est toujours l’antécédent ; le nombre après le égal ( $10$ ) est toujours l’image.

2. Le tableau de valeurs

Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs range, sur deux lignes, des nombres de départ $x$ et leurs images $f(x)$ : chaque colonne donne un couple départ / arrivée.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$0$	$4$	$8$	$12$

Ici, on lit par exemple $f(2) = 8$ : l’image de $2$ est $8$ .

Compléter un tableau de valeurs

On connaît la formule de la fonction, on cherche les images manquantes.

Repérer la formule, par exemple $f(x) = 1{,}5 \times x$ (le prix de $x$ pièces à $1{,}5$ € l’unité).
Pour chaque case vide, remplacer $x$ par le nombre de la colonne.
Calculer l’image et l’écrire dans la case du bas.

Exemple : pour $x = 4$ , on a $f(4) = 1{,}5 \times 4 = 6$ . On écrit $6$ sous le $4$ .

3. La lecture graphique

Repère et courbe d'une fonction

Pour représenter une fonction, on utilise un repère : un axe horizontal (les nombres de départ $x$ ) et un axe vertical (les images $f(x)$ ). L’origine est le point de coordonnées $(0\,;\,0)$ .

La courbe de la fonction est l’ensemble des points $(x\,;\,f(x))$ . Chaque point a une abscisse (sa position horizontale, le départ) et une ordonnée (sa position verticale, l’image).

Lire une image sur un graphique

On cherche l’image d’un nombre $a$ , c’est-à-dire $f(a)$ .

Repérer $a$ sur l’axe horizontal.
Monter (ou descendre) verticalement jusqu’à la courbe.
Depuis ce point, se déplacer horizontalement jusqu’à l’axe vertical.
Lire la valeur : c’est $f(a)$ , l’image de $a$ .

Lire un antécédent sur un graphique

On cherche un antécédent de $b$ : un nombre dont l’image est $b$ . On fait le chemin inverse.

Repérer $b$ sur l’axe vertical.
Se déplacer horizontalement jusqu’à la courbe.
Descendre (ou monter) verticalement jusqu’à l’axe horizontal.
Lire la valeur : c’est un antécédent de $b$ .

4. Les variations d’une courbe

Croissance, décroissance et palier

On lit une courbe de gauche à droite (dans le sens où $x$ augmente).

La fonction est croissante quand la courbe monte : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente.
La fonction est décroissante quand la courbe descend : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.
La courbe forme un palier quand elle reste horizontale : $f(x)$ ne change pas.

Le point le plus haut de la courbe donne le maximum (la plus grande image) ; le point le plus bas donne le minimum.

La température d'un four

On suit la température d’un four pendant $30$ min.

De $0$ à $10$ min, la courbe monte : le four chauffe, la température est croissante.
De $10$ à $20$ min, la courbe est horizontale : c’est un palier, la température reste stable (la cuisson).
De $20$ à $30$ min, la courbe descend : on a éteint le four, la température est décroissante.

La température maximale est atteinte pendant le palier : c’est le maximum de la courbe.

5. La fonction linéaire

Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = a \times x,$ où $a$ est un nombre fixe appelé coefficient. C’est une situation de proportionnalité : on multiplie toujours le nombre de départ par le même coefficient $a$ .

Par exemple, $f(x) = 1{,}5 \times x$ est linéaire, de coefficient $a = 1{,}5$ .

La courbe d'une fonction linéaire est une droite

La courbe d’une fonction linéaire $f(x) = a \times x$ est une droite qui passe par l’origine $(0\,;\,0)$ .

En effet $f(0) = a \times 0 = 0$ : le point $(0\,;\,0)$ est toujours sur la droite.

Pour la tracer, il suffit donc de deux points : l’origine $(0\,;\,0)$ et un autre point, par exemple $(1\,;\,a)$ .

Trouver le coefficient d'une fonction linéaire

Si on connaît une image (autre que celle de $0$ ), le coefficient se retrouve par une division : $a = \frac{f(x)}{x}.$

Exemple : un plein de $30$ L d’essence coûte $54$ €. Le prix est linéaire, de coefficient $a = \frac{54}{30} = 1{,}8.$ Le prix au litre est donc $1{,}8$ € : la fonction prix est $f(x) = 1{,}8 \times x$ .

Linéaire ne veut pas dire n'importe quelle droite

FAUX : « Toute droite est la courbe d’une fonction linéaire. »

VRAI : une fonction linéaire passe obligatoirement par l’origine $(0\,;\,0)$ . Une droite qui ne passe pas par l’origine (par exemple un forfait téléphonique à $5$ € + $0{,}2$ € par Go) n’est pas linéaire : c’est une fonction affine, de la forme $f(x) = a \times x + b$ , où $b$ est la part fixe (ici $b = 5$ ).

Le réflexe départ / arrivée

Pour ne jamais confondre, garde en tête le sens de lecture :

Image : je pars de l’axe horizontal ( $x$ ), je vais vers l’axe vertical. Départ connu, je cherche l’arrivée.
Antécédent : je pars de l’axe vertical ( $f(x)$ ), je vais vers l’axe horizontal. Arrivée connue, je cherche le départ.

Et dès qu’une situation est une proportionnalité (« $\times$ toujours le même nombre »), pense fonction linéaire : sa courbe est une droite qui passe par l’origine.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Compléter le tableau de valeurs du prix des pièces

Dans un atelier de mécanique, chaque pièce fabriquée est facturée $1{,}5$ € au client. Le prix de $x$ pièces est donné par la fonction $f(x) = 1{,}5 \times x$ . Compléter le tableau de valeurs suivant en calculant les images manquantes pour $x = 2$ , $x = 4$ , $x = 6$ et $x = 10$ .

| $x$ (nombre de pièces) | $2$ | $4$ | $6$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ (prix en €) | ? | ? | ? | ? |

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L'image et l'antécédent d'un abonnement streaming

Une plateforme de streaming facture l'abonnement $7$ € par mois. On note $f$ la fonction qui, à un nombre de mois $x$ , associe le prix total à payer (en euros). On a donc $f(x) = 7 \times x$ .

1. Calculer $f(5)$ . Que représente ce nombre ?
2. Un abonné a payé $84$ € au total. Combien de mois a-t-il payés ? (Trouver l'antécédent de $84$ .)

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Lire le coût de l'électricité sur un graphique

Dans un atelier, le coût de l'électricité (en euros) dépend de l'énergie consommée (en kWh). On note $f$ la fonction qui, à un nombre de kWh, associe le coût en euros. La courbe de $f$ passe par les points $(0\,;\,0)$ , $(10\,;\,2)$ , $(20\,;\,4)$ , $(30\,;\,6)$ et $(50\,;\,10)$ . Sur le graphique, on lit que la courbe est une droite qui monte régulièrement. Quel est le coût de l'électricité pour une consommation de $30$ kWh ? Autrement dit, lire $f(30)$ .

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Le coefficient du forfait data

Pour ajouter de la data à son téléphone, un opérateur propose une recharge proportionnelle au nombre de Go : $20$ Go coûtent $6$ €. On note $f$ la fonction qui, à un nombre de Go $x$ , associe le prix à payer (en euros). C'est une fonction linéaire $f(x) = a \times x$ .

1. Déterminer le coefficient $a$ (le prix d'un Go).
2. En déduire le prix d'une recharge de $35$ Go.
3. Avec un budget de $9$ €, combien de Go peut-on s'offrir ? (Trouver l'antécédent de $9$ .)

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Le prix des fruits selon la masse

Sur un étal de marché, les pommes sont vendues $3$ € le kilogramme. On note $f$ la fonction qui, à une masse $x$ (en kg), associe le prix à payer (en euros). On a donc $f(x) = 3 \times x$ .

1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous, puis tracer la courbe de $f$ dans un repère (axe horizontal : la masse en kg ; axe vertical : le prix en €).

| $x$ (en kg) | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ (en €) | ? | ? | ? | ? |

2. Un client a payé $18$ €. Quelle masse de pommes a-t-il achetée ? (Lire l'antécédent de $18$ .)

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Les variations de la température d'un four

Dans une cuisine de food-truck, on suit la température d'un four pendant $30$ minutes. La fonction $T$ donne la température (en °C) en fonction du temps $t$ (en minutes). La courbe passe par les points suivants : $(0\,;\,20)$ , $(10\,;\,180)$ , $(15\,;\,180)$ , $(20\,;\,180)$ et $(30\,;\,60)$ . Entre $0$ et $10$ min la courbe monte, entre $10$ et $20$ min elle reste horizontale, entre $20$ et $30$ min elle descend.

1. Sur quel intervalle de temps la température est-elle croissante ? décroissante ? Où y a-t-il un palier ?
2. Quelle est la température maximale atteinte par le four ?

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Bonus

Le chiffre d'affaires mensuel d'une boutique

Une boutique de sneakers suit son chiffre d'affaires mois par mois sur une année. La fonction $C$ donne le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) en fonction du mois (de $1$ pour janvier à $12$ pour décembre). Le tableau de valeurs lu sur la courbe est le suivant :

| Mois | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $C$ (en milliers d'€) | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | 17 | 19 | 15 | 12 | 14 | 16 | 20 |

1. Quel mois le chiffre d'affaires est-il maximal ? Donner ce chiffre d'affaires en euros.
2. Sur quelles périodes le chiffre d'affaires est-il croissant ? décroissant ?

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Linéaire ou affine : deux offres de stockage cloud

Pour stocker ses photos en ligne, on compare deux offres de stockage cloud selon le nombre de Go $x$ utilisés (le prix est en euros par mois).

- Offre A : $0{,}05$ € par Go, sans frais fixes. Le prix est $f(x) = 0{,}05 \times x$ .
- Offre B : un abonnement fixe de $3$ € par mois, plus $0{,}02$ € par Go. Le prix est $g(x) = 0{,}02 \times x + 3$ .

1. Parmi $f$ et $g$ , laquelle est une fonction linéaire ? Justifier.
2. Calculer le prix de chaque offre pour $200$ Go.
3. Pour $200$ Go, quelle offre est la plus avantageuse ?
4. À partir de combien de Go l'offre B devient-elle plus avantageuse que l'offre A ?

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction en CAP ?

Une fonction est un procédé qui, à un nombre de départ, associe un seul nombre d'arrivée. Par exemple, si une pièce coûte 1,5 euro, le procédé qui au nombre de pièces associe le prix à payer est une fonction. Le nombre de départ s'appelle l'antécédent, le nombre d'arrivée s'appelle l'image.

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

L'image, c'est le résultat : le nombre d'arrivée que la fonction renvoie. L'antécédent, c'est le nombre de départ qui a donné ce résultat. On lit f de 3 égale 12 : 12 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 12. Pour trouver une image on part de la valeur de départ ; pour trouver un antécédent on part de la valeur d'arrivée.

Comment reconnaître une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une situation de proportionnalité : on multiplie toujours par un même nombre, appelé coefficient. Sa courbe est une droite qui passe par l'origine du repère, c'est-à-dire par le point zéro virgule zéro. Le prix de l'essence selon le nombre de litres est un bon exemple de fonction linéaire.