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Rêves Vision
Première ST2S

Tableau de variation et concentration maximale

Énoncé

Après une prise, la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée pour 0≤t≤80 \le t \le 8 (en heures) par C(t)=−2 t2+16 t.C(t) = -2\,t^2 + 16\,t. a) Calculer C(0)C(0) et C(8)C(8), puis interpréter. b) Déterminer C′C' et résoudre C′(t)=0.C'(t) = 0. c) Dresser le tableau de variation de CC sur [0 ; 8].[0\,;\,8]. d) En déduire la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour les images, remplace tt par 00 puis par 88 dans C(t)C(t) : pense à calculer 82=648^{2} = 64 avant de multiplier par −2.-2.
  2. Dérive terme par terme : la dérivée de −2 t2-2\,t^2 est −2×2 t=−4 t-2 \times 2\,t = -4\,t, celle de 16 t16\,t est 1616, puis résous l'équation affine C′(t)=0.C'(t) = 0.
  3. La dérivée −4 t+16-4\,t + 16 est positive avant la valeur qui l'annule, négative après : la fonction monte puis descend. Là où C′C' change de signe de ++ à −-, CC atteint son maximum.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Valeurs aux bornes

    On remplace tt par chaque borne dans C(t)=−2 t2+16 t.C(t) = -2\,t^2 + 16\,t. Pour t=0t = 0 : C(0)=−2×02+16×0=0.C(0) = -2 \times 0^2 + 16 \times 0 = 0. Pour t=8t = 8 : C(8)=−2×82+16×8=−2×64+128=−128+128=0.C(8) = -2 \times 8^2 + 16 \times 8 = -2 \times 64 + 128 = -128 + 128 = 0. Au moment de la prise puis au bout de 88 heures, la concentration est nulle : le médicament n'est pas encore diffusé, puis il est totalement éliminé.

  2. 2. b) Dérivée et valeur qui l'annule

    On dérive terme par terme : la dérivée de −2 t2-2\,t^2 est −4 t-4\,t et celle de 16 t16\,t est 1616, donc C′(t)=−4 t+16.C'(t) = -4\,t + 16. On résout C′(t)=0C'(t) = 0 : −4 t+16=0-4\,t + 16 = 0, soit −4 t=−16-4\,t = -16, donc t=−16−4=4.t = \dfrac{-16}{-4} = 4. La dérivée s'annule en t=4t = 4 heures.

  3. 3. c) Tableau de variation

    L'expression C′(t)=−4 t+16C'(t) = -4\,t + 16 est affine de coefficient −4<0-4 < 0 : elle est positive sur [0 ; 4[[0\,;\,4[ et négative sur ]4 ; 8].]4\,;\,8]. La fonction CC est donc croissante puis décroissante. On calcule la valeur au sommet : C(4)=−2×42+16×4=−2×16+64=−32+64=32.C(4) = -2 \times 4^2 + 16 \times 4 = -2 \times 16 + 64 = -32 + 64 = 32. On obtient le tableau de variation suivant.
    Signe de C′(t)C'(t) : C′(t)>0C'(t) > 0 (signe ++) sur [0 ; 4[[0\,;\,4[, puis C′(4)=0C'(4) = 0, puis C′(t)<0C'(t) < 0 (signe −-) sur ]4 ; 8].]4\,;\,8].
    Variations de CC : CC croît (↗\nearrow) de C(0)=0C(0) = 0 jusqu'au sommet C(4)=32C(4) = 32, puis décroît (↘\searrow) de 3232 jusqu'à C(8)=0.C(8) = 0.

  4. 4. d) Concentration maximale

    La dérivée passe de positive à négative en t=4t = 4 : la concentration y atteint donc son maximum. Ce maximum vaut C(4)=32.C(4) = 32. La concentration est maximale, égale à 3232 mg/L, 44 heures après la prise : c'est l'instant où le médicament est le plus présent dans le sang.
Réponse finale
C(0)=C(8)=0;C′(t)=−4 t+16 s’annule en t=4;maximum 32 mg/L aˋ t=4 hC(0) = C(8) = 0 \quad ; \quad C'(t) = -4\,t + 16 \text{ s'annule en } t = 4 \quad ; \quad \text{maximum } 32 \text{ mg/L à } t = 4 \text{ h}
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