Première STI2D · Chapitre 10

Probabilités conditionnelles

Cours de Première STI2D sur les probabilités conditionnelles : conditionnement, arbre pondéré, formule des probabilités totales et indépendance. Contextes industriels et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En STI2D, on a sans arrêt besoin de réévaluer une probabilité quand une information arrive : quel est le taux de défaut sachant qu’une pièce sort de l’atelier 1 ? Un capteur tombe-t-il plus souvent en panne quand il y a une surtension ? Les probabilités conditionnelles répondent exactement à ce type de question, et l’arbre pondéré en est la traduction visuelle, idéale pour les contrôles qualité et les diagnostics de défaillance.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

calculer une probabilité conditionnelle $P_A(B)$ et l’interpréter ;
construire et lire un arbre pondéré (multiplier le long d’une branche) ;
appliquer la formule des probabilités totales pour un taux global ;
tester l’indépendance de deux événements.

À quoi ça sert ?

Imagine une chaîne de production de capteurs. On te dit que $3\,\%$ des pièces sont défectueuses. Mais ce chiffre global cache deux ateliers très différents : l’un très fiable, l’autre moins. Les probabilités conditionnelles te permettent de séparer les cas ( $P_A(B)$ = « défectueux sachant atelier 1 ») puis de recombiner le tout pour piloter la qualité. C’est aussi le cœur des tests de défaillance : quand un appareil signale un composant « défectueux », quelle est la probabilité qu’il le soit vraiment ? Tu vas voir que la réponse est souvent surprenante.

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est :

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Elle mesure la probabilité que $B$ se réalise lorsqu’on sait déjà que $A$ est réalisé.

Probabilité d'une intersection

En multipliant par $P(A)$ la définition précédente, on obtient une formule très utilisée :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

C’est exactement ce qu’on calcule en multipliant le long d’une branche d’un arbre pondéré.

Règles de l'arbre pondéré

Sur un arbre pondéré :

on multiplie les probabilités rencontrées le long d’une même branche pour obtenir la probabilité du chemin ;
la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à $1$ .

Ainsi, sachant $A$ , on a toujours $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ .

Un arbre de contrôle qualité

Une usine possède deux ateliers. Une pièce vient de l’atelier 1 (événement $A_1$ ) avec $P(A_1) = 0{,}6$ , sinon de l’atelier 2 (événement $A_2$ ) avec $P(A_2) = 0{,}4$ . Sachant qu’elle vient de l’atelier 1, elle est défectueuse (événement $D$ ) avec $P_{A_1}(D) = 0{,}02$ ; sachant qu’elle vient de l’atelier 2, $P_{A_2}(D) = 0{,}05$ .

Le chemin « atelier 1 puis défectueuse » a pour probabilité, en multipliant le long de la branche :

$P(A_1 \cap D) = P(A_1) \times P_{A_1}(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012.$

Formule des probabilités totales

Comme $A$ et $\overline{A}$ partagent l’univers en deux, tout événement $B$ se décompose selon ces deux cas :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$

soit, en développant chaque intersection :

$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$

Sur l’arbre, cela revient à additionner tous les chemins qui aboutissent à $B$ .

Calculer un taux global avec les probabilités totales

On cherche la probabilité d’un événement $D$ (par exemple « pièce défectueuse ») qui peut survenir dans plusieurs cas.

Construire l’arbre : premier niveau pour la cause ( $A$ et $\overline{A}$ ), second niveau pour $D$ et $\overline{D}$ .
Repérer tous les chemins qui mènent à $D$ .
Pour chaque chemin, multiplier les probabilités de la branche.
Additionner les probabilités de ces chemins.

Exemple (suite de l’arbre ci-dessus) : $P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$ , soit un taux de défaut global de $3{,}2\,\%$ .

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Cela signifie que la réalisation de $A$ ne modifie pas la probabilité de $B$ : lorsque $P(A) \neq 0$ , on a alors $P_A(B) = P(B)$ .

Tester l'indépendance de deux événements

Calculer le produit $P(A) \times P(B)$ .
Déterminer $P(A \cap B)$ (donné, lu sur un tableau ou un arbre).
Comparer les deux résultats : s’ils sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Le piège : confondre indépendant et incompatible

FAUX : « Une surtension et la panne du capteur ne peuvent pas arriver en même temps, donc ils sont indépendants. »

VRAI : ne jamais confondre indépendant et incompatible.

Deux événements sont incompatibles quand $A \cap B = \varnothing$ : ils ne peuvent pas se produire ensemble.
Deux événements sont indépendants quand $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ : l’un n’influence pas l’autre.

Au contraire, deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si $A$ est réalisé, alors $B$ est impossible, donc savoir que $A$ se produit change radicalement la probabilité de $B$ .

Le piège : confondre les deux sens du conditionnement

FAUX : écrire $P_A(B) = P_B(A)$ .

VRAI : en général $P_A(B) \neq P_B(A)$ , car on ne divise pas par la même chose :

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad \text{tandis que} \qquad P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

Dans un test de défaillance, « défectueux sachant que l’appareil l’a signalé » n’est pas du tout la même chose que « signalé sachant qu’il est défectueux ». Confondre les deux est l’erreur classique du diagnostic.

Le réflexe arbre

Devant un énoncé à deux étapes (cause puis résultat, contrôle puis verdict), dessine toujours l’arbre avant de calculer :

le long d’une branche, on multiplie ;
plusieurs chemins vers le même résultat, on additionne ;
les branches d’un même nœud font somme $1$ , ce qui permet de retrouver une probabilité manquante par soustraction.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Arbre pondéré : conforme ou défectueuse selon la chaîne

Une usine fabrique des capteurs sur deux chaînes. Une pièce est produite par la chaîne A (événement $A$ ) avec $P(A) = 0{,}7$ , sinon par la chaîne B (événement $\overline{A}$ ). Sachant qu'elle vient de la chaîne A, la pièce est défectueuse (événement $D$ ) avec $P_A(D) = 0{,}04$ . Construire l'arbre pondéré, compléter la branche $A \to \overline{D}$ (pièce conforme), puis calculer $P(A \cap D)$ .

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Probabilité conditionnelle à partir d'un tableau d'effectifs

Un atelier de prototypage imprime $250$ pièces en 3D, puis les contrôle. On note $D$ l'événement « la pièce respecte la cote dimensionnelle » et $S$ l'événement « l'état de surface est conforme ». Sur les $250$ pièces, $180$ respectent la cote dimensionnelle ; parmi toutes les pièces, $144$ respectent à la fois la cote et l'état de surface. Calculer la probabilité qu'une pièce ait un état de surface conforme sachant qu'elle respecte la cote dimensionnelle, c'est-à-dire $P_D(S)$ .

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Probabilité conditionnelle sur un contrôle qualité

Sur une ligne de montage, on contrôle chaque module. On note $V$ l'événement « le module passe le test visuel » et $E$ l'événement « le module est électriquement conforme ». On sait que $P(V) = 0{,}8$ et $P(V \cap E) = 0{,}6$ . Calculer la probabilité qu'un module soit électriquement conforme sachant qu'il a passé le test visuel, c'est-à-dire $P_V(E)$ .

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Batteries de deux fournisseurs : taux de défaut et origine d'un défaut

Un fabricant de trottinettes électriques assemble des batteries provenant de deux fournisseurs. Le fournisseur A livre $65\,\%$ des batteries (événement $A$ ), le fournisseur B le reste (événement $\overline{A}$ ). Une batterie du fournisseur A présente un défaut d'autonomie (événement $D$ ) avec une probabilité de $0{,}02$ ; une batterie du fournisseur B présente ce défaut avec une probabilité de $0{,}06$ . 1) Calculer le taux de défaut global $P(D)$ . 2) Un atelier reçoit une batterie défectueuse ; calculer la probabilité qu'elle vienne du fournisseur B, c'est-à-dire $P_D(\overline{A})$ . Arrondir au millième.

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Taux de défaut global de deux ateliers

Une entreprise dimensionne sa production de panneaux solaires sur deux ateliers. L'atelier 1 fournit $60\,\%$ des panneaux (événement $A$ ), l'atelier 2 le reste (événement $\overline{A}$ ). Un panneau de l'atelier 1 est défectueux (événement $D$ ) avec une probabilité de $0{,}03$ ; un panneau de l'atelier 2 est défectueux avec une probabilité de $0{,}07$ . Calculer le taux de défaut global $P(D)$ de la production.

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Tester l'indépendance entre panne d'un capteur et surtension

Sur un banc d'essai, on enregistre $1000$ relevés. On note $A$ l'événement « le capteur est en panne » et $B$ l'événement « il y a une surtension ». Le tableau croisé donne : $30$ relevés avec panne et surtension, $150$ relevés avec panne au total, $200$ relevés avec surtension au total. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

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Bonus

Diagnostic : un composant signalé défectueux l'est-il vraiment ?

Une carte électronique embarque un test automatique de défaillance. Un composant est réellement défectueux (événement $D$ ) avec une probabilité de $0{,}02$ . Le test signale un défaut (événement $T$ ). Le test est bon mais pas parfait : si le composant est défectueux, il le signale avec une probabilité $P_D(T) = 0{,}98$ ; s'il est sain, il le signale quand même par erreur avec une probabilité $P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05$ . Un composant vient d'être signalé défectueux par le test. Quelle est la probabilité qu'il le soit réellement, c'est-à-dire $P_T(D)$  ? Arrondir au millième.

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Test d'étanchéité : un boîtier signalé non étanche l'est-il vraiment ?

Sur une chaîne d'assemblage de boîtiers électroniques étanches, un test automatique vérifie l'étanchéité. Un boîtier est réellement non étanche (événement $D$ ) avec une probabilité de $0{,}04$ . Le test signale une fuite (événement $T$ ). Le test n'est pas parfait : si le boîtier est non étanche, il signale une fuite avec une probabilité $P_D(T) = 0{,}95$ ; si le boîtier est étanche, il signale quand même une fuite par erreur avec une probabilité $P_{\overline{D}}(T) = 0{,}08$ . Un boîtier vient d'être signalé non étanche par le test. Quelle est la probabilité qu'il le soit réellement, c'est-à-dire $P_T(D)$ ? Arrondir au millième.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

La probabilité de B sachant A se note P indice A de B. Elle est égale à la probabilité de A inter B divisée par la probabilité de A, à condition que la probabilité de A ne soit pas nulle. Elle donne la probabilité de B quand on sait déjà que A est réalisé, par exemple la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle sort de l'atelier 1.

Comment utiliser un arbre pondéré en contrôle qualité ?

Sur un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'une même branche pour obtenir la probabilité d'un chemin, par exemple sortir de l'atelier 1 puis être défectueux. La somme des probabilités des branches qui partent d'un même nœud vaut toujours 1. Pour obtenir la probabilité d'un résultat, on additionne tous les chemins qui y mènent.

Quand deux événements sont-ils indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de A inter B est égale à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B. Cela signifie que savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Par exemple, une surtension et la panne d'un capteur sont indépendantes si la surtension n'augmente pas le risque de panne.

Exercices corrigés

Arbre pondéré : conforme ou défectueuse selon la chaîne

Probabilité conditionnelle à partir d'un tableau d'effectifs

Probabilité conditionnelle sur un contrôle qualité

Batteries de deux fournisseurs : taux de défaut et origine d'un défaut

Taux de défaut global de deux ateliers

Tester l'indépendance entre panne d'un capteur et surtension

Diagnostic : un composant signalé défectueux l'est-il vraiment ?

Test d'étanchéité : un boîtier signalé non étanche l'est-il vraiment ?

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Diagnostic : un composant signalé défectueux l'est-il vraiment ?