Seconde pro · Chapitre 2

Fluctuation et probabilités

Cours de Seconde pro : expérience aléatoire, probabilité d'un événement, fluctuation des fréquences, loi des grands nombres, arbre et tableau croisé. Exercices corrigés en contexte métier.

8 exercices corrigés · Seconde professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Une pièce sur ton lot est-elle défectueuse ? Un client va-t-il commander un dessert ? Une livraison partira-t-elle à l’heure ? On ne peut pas le savoir à l’avance, mais on peut mesurer la chance que cela arrive. C’est tout l’objet des probabilités. Et quand on observe beaucoup de cas, les fréquences se mettent à se stabiliser : c’est la loi des grands nombres, le pont entre ce que l’on observe sur le terrain et ce que l’on prévoit.

Ce que tu dois savoir faire à la fin

Je sais reconnaître une expérience aléatoire et décrire un événement.
Je sais calculer une probabilité dans un cas d’équiprobabilité (nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles).
Je sais distinguer une fréquence (observée) d’une probabilité (attendue) et expliquer la fluctuation d’un échantillon à l’autre.
Je sais utiliser la loi des grands nombres pour estimer une probabilité à partir d’un grand échantillon.
Je sais lire un arbre et un tableau à double entrée pour calculer une probabilité.

À quoi ça sert dans ton métier ?

En boutique, en atelier ou dans un food-truck, tu manipules des probabilités sans le savoir : « combien de pièces vont passer le contrôle qualité ? », « quelle part de clients prend un menu complet ? », « la commande sera-t-elle livrée à l’heure ? ». Savoir estimer une probabilité, c’est anticiper le stock, la production et la satisfaction client au lieu de subir. Et c’est aussi savoir te méfier d’un slogan : « 8 clients sur 10 nous recommandent » ne veut rien dire si le sondage porte sur 5 personnes.

Expérience aléatoire, issue, événement

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais sans pouvoir prévoir lequel va se produire.

Chaque résultat possible s’appelle une issue.
L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers.
Un événement est un ensemble d’issues, décrit par une phrase. Exemple : « la pièce tirée est défectueuse ».

L’événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas $A$ . Par exemple, le contraire de « la pièce est défectueuse » est « la pièce est conforme ».

Probabilité d'un événement

La probabilité d’un événement $A$ , notée $P(A)$ , est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance que cet événement se produise.

$P(A) = 0$ : l’événement est impossible.
$P(A) = 1$ : l’événement est certain.
Plus $P(A)$ est proche de $1$ , plus l’événement a de chances de se produire.

On peut aussi exprimer une probabilité en pourcentage : $P(A) = 0{,}04$ se lit « $4$  % de chances ».

Probabilité dans un cas d'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (on dit qu’il y a équiprobabilité), la probabilité d’un événement $A$ se calcule ainsi :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemple : dans un lot de $200$ pièces dont $8$ sont défectueuses, prendre une pièce au hasard donne : $P(\text{défectueuse}) = \frac{8}{200} = 0{,}04 = 4\ \%.$

Probabilité de l'événement contraire

La probabilité d’un événement et celle de son contraire ont pour somme $1$ : $P(A) + P(\overline{A}) = 1, \qquad \text{donc} \qquad P(\overline{A}) = 1 - P(A).$

Exemple : si $P(\text{pièce défectueuse}) = 0{,}04$ , alors la probabilité qu’une pièce soit conforme vaut $P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$ , soit $96$  %.

Fréquence d'un résultat sur un échantillon

Quand on répète une expérience un certain nombre de fois (un échantillon de taille $n$ ), la fréquence d’un résultat est :

$f = \frac{\text{nombre de fois où le résultat apparaît}}{n}.$

La fréquence est un nombre que l’on mesure après coup, alors que la probabilité est une valeur fixe et théorique, connue (ou supposée) à l’avance.

Fluctuation d'échantillonnage

Si l’on prélève plusieurs échantillons de même taille dans la même situation, on n’obtient pas exactement la même fréquence à chaque fois : la fréquence varie d’un échantillon à l’autre. C’est la fluctuation d’échantillonnage.

Cette fluctuation est d’autant plus grande que l’échantillon est petit. Sur $10$ livraisons, la fréquence des livraisons à l’heure peut sauter de $0{,}7$ à $1$ d’un jour à l’autre ; sur $1000$ livraisons, elle bouge beaucoup moins.

Loi des grands nombres

Lorsque la taille $n$ de l’échantillon devient très grande, la fréquence observée d’un résultat se stabilise et se rapproche de la probabilité de ce résultat.

Conséquence très utile : si l’on ne connaît pas la probabilité d’un événement, on peut l’estimer par la fréquence observée sur un grand échantillon. Par exemple, si $129$ clients sur $150$ se déclarent satisfaits, on estime : $P(\text{satisfait}) \approx \frac{129}{150} = 0{,}86 = 86\ \%.$

Lire un arbre des probabilités

Un arbre sert à décrire une expérience qui se déroule en plusieurs étapes (par exemple : le client prend une boisson, puis un dessert).

Chaque branche porte la probabilité de l’étape correspondante.
La somme des probabilités des branches qui partent d’un même point vaut toujours $1$ .
Pour obtenir la probabilité d’un chemin complet (une étape ET la suivante), on multiplie les probabilités le long du chemin.

Exemple : si $P(\text{boisson}) = 0{,}7$ et que, ensuite, $P(\text{dessert}) = 0{,}5$ , alors $P(\text{boisson ET dessert}) = 0{,}7 \times 0{,}5 = 0{,}35,$ soit $35$  % des clients.

Lire un tableau à double entrée

Un tableau à double entrée (ou tableau croisé) répartit un effectif selon deux critères à la fois (par exemple : le type de client en lignes et le mode de paiement en colonnes).

Repère la case qui correspond aux deux critères demandés.
Pour une probabilité sur toute la population, divise par le total général.
Pour une probabilité sur une partie seulement (par exemple « parmi les habitués »), divise par le total de cette ligne (ou de cette colonne).

C’est un outil idéal pour vérifier un slogan : il suffit de recalculer la vraie fréquence à partir des effectifs.

Estimer une probabilité à partir d'un grand échantillon

Un atelier contrôle ses livraisons. Sur $1000$ livraisons, $921$ sont parties à l’heure.

On estime la probabilité qu’une livraison parte à l’heure par la fréquence observée : $P(\text{à l'heure}) \approx \frac{921}{1000} = 0{,}921 \approx 0{,}92 = 92\ \%.$

Comme l’échantillon est grand, la loi des grands nombres garantit que cette estimation est fiable : on peut s’appuyer dessus pour organiser le planning.

Les pièges à éviter

Confondre fréquence et probabilité. ~~« J’ai eu $3$ pièces défectueuses sur $10$ , donc la probabilité est $0{,}3$ . »~~ C’est FAUX : sur seulement $10$ pièces, la fréquence fluctue énormément. Le VRAI : il faut un grand échantillon pour estimer une probabilité, et même alors $0{,}3$ resterait une estimation, pas une certitude.
Donner une probabilité hors de l’intervalle $[0\,;\,1]$ . ~~« $P(A) = 1{,}3$ . »~~ FAUX : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ (ou entre $0$  % et $100$  %). Un résultat négatif ou supérieur à $1$ signale une erreur de calcul.
Additionner au lieu de multiplier dans un arbre. Pour une étape ET une autre le long d’un chemin, on multiplie : $0{,}7 \times 0{,}5 = 0{,}35$ , et non $0{,}7 + 0{,}5$ .
Croire qu’un grand échantillon donne la valeur exacte. La loi des grands nombres dit que la fréquence s’approche de la probabilité, pas qu’elle l’atteint pile : il reste toujours un petit écart.

Le réflexe vérification

Avant de valider une probabilité, pose-toi deux questions : est-elle bien entre $0$ et $1$  ? Et la somme des probabilités de toutes les issues fait-elle bien $1$  ? Si l’une des deux réponses est « non », il y a une erreur quelque part.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Estimer la satisfaction à partir des avis

Une boutique de sneakers en ligne a recueilli $150$ avis clients après livraison. Parmi eux, $129$ clients se déclarent satisfaits. En utilisant la fréquence observée, estimer la probabilité qu'un client soit satisfait. Donner le résultat en décimal et en pourcentage.

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Tomber sur un skin légendaire

Dans un jeu, une caisse de récompenses contient $250$ skins différents, dont $40$ sont classés légendaires. On ouvre la caisse et le jeu tire un skin au hasard, chaque skin ayant la même chance d'être obtenu.

1. Calculer la probabilité d'obtenir un skin légendaire. Donner le résultat en décimal et en pourcentage.
2. En déduire la probabilité d'obtenir un skin qui n'est pas légendaire.

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Une pièce défectueuse dans le lot

Dans un atelier, un lot contient $200$ pièces, dont $8$ sont défectueuses. On prend une pièce au hasard dans le lot, chaque pièce ayant la même chance d'être choisie. Quelle est la probabilité que la pièce prise soit défectueuse ? Donner le résultat sous forme décimale, puis en pourcentage.

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Formules d'abonnement d'une plateforme

Une plateforme de streaming analyse ses $300$ abonnés. Elle croise deux informations : la formule choisie (mensuelle ou annuelle) et l'appareil principal utilisé (mobile ou téléviseur). Voici le tableau à double entrée des effectifs :

| | Mobile | Téléviseur | Total |
|---|---|---|---|
| Formule mensuelle | $90$ | $60$ | $150$ |
| Formule annuelle | $30$ | $120$ | $150$ |
| Total | $120$ | $180$ | $300$ |

1. On choisit un abonné au hasard. Calculer la probabilité qu'il ait pris la formule annuelle. Donner le résultat en décimal et en pourcentage.
2. On choisit un abonné au hasard parmi ceux qui ont la formule annuelle. Calculer la probabilité qu'il regarde principalement sur téléviseur.

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La fréquence des livraisons à l'heure se stabilise

Un service de livraison veut estimer la probabilité qu'une commande parte à l'heure. À l'aide d'un tableur, on simule des échantillons de tailles croissantes et on relève le nombre de livraisons à l'heure :

| Taille $n$ de l'échantillon | Nombre de livraisons à l'heure |
|---|---|
| $10$ | $8$ |
| $50$ | $44$ |
| $100$ | $91$ |
| $500$ | $459$ |
| $1000$ | $921$ |

1. Calculer la fréquence des livraisons à l'heure pour chaque taille $n$ .
2. Que remarque-t-on quand $n$ augmente ?
3. Vers quelle valeur peut-on estimer la probabilité qu'une livraison parte à l'heure ?

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Une boisson ET un dessert (arbre)

Dans un food-truck, on observe les commandes. La probabilité qu'un client prenne une boisson est $0{,}7$ . Ensuite, qu'il ait pris une boisson ou non, la probabilité qu'il prenne un dessert est $0{,}5$ . On modélise la situation par l'arbre suivant :

- 1re étape : Boisson ( $0{,}7$ ) ou Pas de boisson ( $0{,}3$ ).
- 2e étape : pour chaque cas, Dessert ( $0{,}5$ ) ou Pas de dessert ( $0{,}5$ ).

Calculer la probabilité qu'un client commande une boisson ET un dessert.

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Bonus

Modes de paiement et esprit critique sur un slogan

Une boutique enregistre, sur une journée, le mode de paiement de ses $200$ clients, en distinguant les clients habitués et occasionnels. Voici le tableau à double entrée des effectifs :

| | Carte | Espèces | Paiement mobile | Total |
|---|---|---|---|---|
| Habitués | $60$ | $15$ | $45$ | $120$ |
| Occasionnels | $40$ | $30$ | $10$ | $80$ |
| Total | $100$ | $45$ | $55$ | $200$ |

1. On choisit un client au hasard. Calculer la probabilité qu'il paie par paiement mobile.
2. On choisit un client au hasard parmi les habitués. Calculer la probabilité qu'il paie par carte.
3. La boutique affiche le slogan : « $8$ clients sur $10$ paient sans contact ! » (sans contact = carte + paiement mobile). En calculant la vraie fréquence, dire si ce slogan est honnête.

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Taux de conversion d'une boutique de sneakers

Une boutique de sneakers en ligne suit le parcours de ses visiteurs lors d'une sortie limitée. La probabilité qu'un visiteur ajoute une paire au panier est $0{,}6$ . Ensuite, parmi ceux qui ont ajouté au panier, la probabilité qu'ils finalisent l'achat est $0{,}75$ (sinon ils abandonnent le panier). On modélise la situation par l'arbre suivant :

- 1re étape : Ajout au panier ( $0{,}6$ ) ou Pas d'ajout ( $0{,}4$ ).
- 2e étape (uniquement après un ajout) : Achat finalisé ( $0{,}75$ ) ou Panier abandonné ( $0{,}25$ ).

1. Calculer la probabilité qu'un visiteur ajoute au panier ET finalise l'achat. Donner le résultat en décimal et en pourcentage.
2. Calculer la probabilité qu'un visiteur ajoute au panier mais abandonne ensuite son panier.
3. La boutique affiche : « $1$ visiteur sur $2$ repart avec une paire ! ». En comparant avec la probabilité de la question 1, dire si ce slogan est honnête.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fréquence et une probabilité ?

La fréquence se mesure après coup : c'est le nombre de fois où un résultat est apparu, divisé par le nombre total d'essais. Elle change d'un échantillon à l'autre, c'est ce qu'on appelle la fluctuation. La probabilité, elle, est une valeur fixe attachée à l'expérience : elle annonce à l'avance la part attendue de ce résultat. Quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

Comment calculer la probabilité d'un événement dans un cas simple ?

Quand tous les résultats ont la même chance de se produire, on divise le nombre de résultats favorables à l'événement par le nombre total de résultats possibles. Par exemple, dans un lot de 200 pièces dont 8 sont défectueuses, la probabilité de tirer une pièce défectueuse au hasard vaut 8 divisé par 200, soit 0,04, c'est-à-dire 4 pour cent.

Que dit la loi des grands nombres ?

La loi des grands nombres dit que plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence d'un résultat se stabilise autour de sa probabilité. Sur un petit échantillon, la fréquence peut être très éloignée de la probabilité ; sur un très grand échantillon, elle s'en approche. C'est ce qui permet d'estimer une probabilité inconnue à partir d'un grand nombre d'observations, comme des avis clients ou des contrôles de production.