CAP · Chapitre 2

Probabilités

Cours de CAP sur les probabilités : expérience aléatoire, issues, événement, probabilité entre 0 et 1, événement contraire, dénombrement par tableau ou arbre. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · CAP - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Quel est le risque qu’un t-shirt pris au hasard dans un stock soit défectueux ? Quelle chance a un client de gagner la livraison gratuite en tournant une roue ? Les probabilités servent justement à mettre un nombre sur le hasard, pour décider, anticiper un stock ou rassurer un client. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à calculer une probabilité dans des cas simples, à passer à l’événement contraire, et à compter sans rien oublier grâce à un tableau ou un arbre.

Ce que je dois savoir faire

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître une expérience aléatoire et lister ses issues ;
comprendre qu’une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 ;
calculer la probabilité d’un événement dans un cas simple (cas favorables sur cas possibles) ;
calculer la probabilité de l’événement contraire $\overline{A}$ ;
dénombrer à l’aide d’un tableau à double entrée ou d’un arbre.

À quoi ça sert dans un métier ?

Dans un commerce ou un atelier, tu manipules sans le savoir des probabilités tous les jours :

estimer la part de produits non conformes dans une production ;
prévoir combien de clients vont payer en carte pour gérer la caisse ;
annoncer la chance de gagner un lot lors d’une opération commerciale ;
évaluer le risque qu’une livraison soit en retard.

Mettre un nombre sur le hasard, c’est pouvoir décider au lieu de deviner.

Expérience aléatoire, issue, événement

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais sans savoir à l’avance lequel va se produire.

Une issue est un résultat possible de l’expérience.
L’ensemble de toutes les issues forme l’univers.
Un événement est un ensemble d’issues qui nous intéresse.

Exemple : tirer un t-shirt au hasard dans un carton est une expérience aléatoire. « Le t-shirt est défectueux » est un événement.

La stabilisation des fréquences

Si on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence d’un événement (le nombre de fois où il se produit, divisé par le nombre d’essais) se rapproche d’une valeur fixe : cette valeur est la probabilité de l’événement.

Autrement dit : plus on fait d’essais, plus la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité. C’est pour cela qu’un atelier qui contrôle des centaines de pièces obtient un taux de défauts très régulier.

Probabilité d'un événement

La probabilité d’un événement $A$ , notée $p(A)$ , est un nombre qui mesure sa chance de se réaliser.

$0 \leq p(A) \leq 1$

$p(A) = 0$ : l’événement est impossible ;
$p(A) = 1$ : l’événement est certain ;
plus $p(A)$ est proche de $1$ , plus l’événement a de chances de se produire.

Une probabilité peut s’écrire en fraction (par exemple $\frac{1}{5}$ ), en nombre décimal ( $0{,}2$ ) ou en pourcentage ( $20\ \%$ ).

Calculer une probabilité dans un cas simple

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (cas d’équiprobabilité), la probabilité d’un événement $A$ se calcule ainsi :

$p(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

Les cas favorables sont les issues qui réalisent l’événement $A$ . Les cas possibles sont toutes les issues de l’expérience.

Calculer la probabilité d'un événement

Compter le nombre total de cas possibles (toutes les issues).
Compter le nombre de cas favorables (les issues qui réalisent l’événement).
Écrire la probabilité sous forme de fraction : cas favorables sur cas possibles.
Simplifier la fraction, puis, si on le souhaite, donner la valeur décimale ou le pourcentage.

Exemple : dans un stock de $20$ casquettes dont $4$ sont rouges, on en prend une au hasard. La probabilité d’obtenir une casquette rouge est : $p = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2 = 20\ \%.$

Événement contraire

L’événement contraire d’un événement $A$ , noté $\overline{A}$ , est l’événement qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.

Par exemple, si $A$ est « le colis est en retard », alors $\overline{A}$ est « le colis n’est pas en retard ».

Probabilité de l'événement contraire

La probabilité de l’événement contraire se calcule en retranchant la probabilité de $A$ à $1$ :

$p(\overline{A}) = 1 - p(A)$

C’est très pratique : quand un événement est compliqué à compter directement, on calcule plutôt son contraire.

Dénombrer avec un tableau à double entrée

Un tableau à double entrée sert à compter quand il y a deux critères en même temps (par exemple : l’atelier d’un côté, conforme ou non conforme de l’autre).

Placer un critère en lignes, l’autre en colonnes.
Remplir chaque case avec le nombre d’éléments correspondants.
Calculer les totaux de chaque ligne et de chaque colonne ; le total général est le nombre de cas possibles.
Pour une probabilité, lire la case (ou le total) qui correspond à l’événement cherché, puis diviser par le total général.

Dénombrer avec un arbre

Un arbre sert à compter quand l’expérience se fait en plusieurs étapes (par exemple : d’abord le moyen de paiement, puis le choix d’un menu).

Tracer une branche par issue de la première étape.
À partir de chaque branche, repartir une branche par issue de l’étape suivante.
Quand les choix sont indépendants (un choix n’influence pas l’autre), la probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Exemple : si un client paie en carte avec une probabilité de $0{,}6$ et prend un menu avec une probabilité de $0{,}5$ , alors la probabilité « carte ET menu » vaut $0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3$ .

Les pièges à éviter

Donner une probabilité supérieure à 1 (ou négative) : ~~$p(A) = \frac{50}{10} = 5$~~ est impossible. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ . Si tu trouves un nombre plus grand que $1$ , tu as sûrement inversé la fraction (cas favorables et cas possibles).
Oublier de simplifier la fraction : laisser $p = \frac{10}{50}$ n’est pas faux, mais on attend la forme simplifiée $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ . On écrit toujours une fraction verticale, jamais en ligne.
Se tromper sur l’événement contraire : ~~$p(\overline{A}) = 1 \times p(A)$~~ est faux. La bonne formule est une soustraction : $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$ .
Additionner au lieu de multiplier dans un arbre : pour un chemin « carte ET menu » avec des choix indépendants, on multiplie les probabilités le long du chemin, on ne les additionne pas. ~~$0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}1$~~ donnerait d’ailleurs une probabilité impossible.

Le réflexe de vérification

Après chaque calcul, vérifie que ton résultat est bien entre $0$ et $1$ . Si la probabilité d’un événement vaut $p$ , celle de son contraire vaut $1 - p$ , et la somme des deux fait toujours $1$ . C’est un excellent moyen de contrôler ton travail.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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La roue de la livraison gratuite

Pour une opération commerciale, un site de vente en ligne propose de tourner une roue partagée en $12$ cases identiques. Parmi ces $12$ cases, $3$ offrent la mention « livraison gratuite ». La roue est équilibrée : chaque case a la même chance d'être obtenue. Un client tourne la roue une fois. Calculer la probabilité qu'il obtienne « livraison gratuite ».

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Un clip mis en avant

Une créatrice de contenu stocke $80$ clips vidéo dans un dossier sur son téléphone. Parmi ces clips, $18$ ont été mis en avant par l'application et apparaissent dans l'onglet « Tendances ». Pour préparer un montage, elle ouvre un clip au hasard dans le dossier. Calculer la probabilité que ce clip soit un clip mis en avant.

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Un t-shirt défectueux dans le stock

Dans la réserve d'une boutique de vêtements, un carton contient $50$ t-shirts. Parmi eux, $10$ présentent un défaut (couture ou impression ratée). Un vendeur prend un t-shirt au hasard dans le carton. Calculer la probabilité que ce t-shirt soit défectueux.

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Abonnement mensuel ou annuel

Une plateforme de streaming musical propose deux formules : un abonnement mensuel ou un abonnement annuel. Le service de statistiques indique que $64\ \%$ des abonnés ont choisi l'abonnement annuel. On interroge un abonné au hasard. Calculer la probabilité que cet abonné ait choisi l'abonnement mensuel.

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Conforme ou non selon l'atelier

Un atelier fabrique des pièces dans deux postes de production, A et B. Sur une journée, un contrôle qualité a classé les $100$ pièces produites selon le tableau suivant :

| | Conformes | Non conformes | Total |
|---|---|---|---|
| Poste A | 45 | 5 | 50 |
| Poste B | 38 | 12 | 50 |
| Total | 83 | 17 | 100 |

On choisit une pièce au hasard parmi les $100$ pièces produites. Calculer la probabilité que cette pièce soit non conforme.

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Le colis n'est pas en retard

Un service de livraison annonce que la probabilité qu'un colis soit en retard est égale à $0{,}15$ . On choisit un colis au hasard. Calculer la probabilité que ce colis ne soit pas en retard.

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Bonus

Carte et menu au food-truck

Dans un food-truck, on observe deux choix faits par chaque client, et ces deux choix sont indépendants l'un de l'autre :

- le moyen de paiement : la probabilité qu'un client paie en carte est $0{,}6$ (sinon il paie en espèces) ;
- la commande : la probabilité qu'un client prenne un menu complet est $0{,}5$ (sinon il prend un seul article).

Un client arrive au food-truck. À l'aide d'un arbre, calculer la probabilité qu'il paie en carte ET prenne un menu complet.

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Sneakers neuves ou d'occasion

Un revendeur de sneakers gère un stock de $200$ paires. Chaque paire est classée selon deux critères : son modèle (basses ou montantes) et son état (neuves ou d'occasion). Il a commencé son tableau de gestion, mais une case reste à compléter :

| | Neuves | Occasion | Total |
|---|---|---|---|
| Basses | 50 | 30 | 80 |
| Montantes | ? | 30 | 120 |
| Total | 140 | 60 | 200 |

Un client choisit une paire au hasard dans le stock.

1. Compléter la case manquante du tableau.
2. Calculer la probabilité que la paire choisie soit une paire montante.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

C'est quoi une probabilité ?

Une probabilité, c'est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. Quand 0, l'événement est impossible. Quand 1, il est certain. Dans un cas simple où toutes les issues ont la même chance, on calcule la probabilité en divisant le nombre de cas favorables par le nombre total de cas possibles.

Comment calculer la probabilité de l'événement contraire ?

L'événement contraire d'un événement, c'est tout ce qui se passe quand cet événement ne se produit pas. La probabilité de l'événement contraire est égale à 1 moins la probabilité de l'événement. Par exemple, si un colis a 15 chances sur 100 d'être en retard, soit une probabilité de 0,15, alors la probabilité qu'il ne soit pas en retard vaut 1 moins 0,15, c'est-à-dire 0,85.

À quoi sert un tableau ou un arbre en probabilités ?

Le tableau à double entrée et l'arbre servent à compter sans rien oublier. On les utilise pour dénombrer, c'est-à-dire compter le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles, surtout quand il y a deux critères en même temps, comme conforme ou non conforme selon l'atelier. Une fois les cas comptés, on calcule la probabilité comme un nombre de cas favorables divisé par un nombre de cas possibles.