CAP · Chapitre 3

Proportionnalité et pourcentages

Cours de CAP sur la proportionnalité et les pourcentages : coefficient, quatrième proportionnelle, coefficient multiplicateur, remises, TVA et échelles. Exercices corrigés contexte métier.

8 exercices corrigés · CAP - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Calculer le prix de plusieurs articles identiques, convertir une recette, appliquer une remise commerciale, ajouter la TVA, lire un plan d’atelier ou mesurer un taux d’évolution de salaire : toutes ces situations reposent sur un même outil, la proportionnalité. Ce chapitre te donne les réflexes pour répondre vite et juste, que ce soit en magasin, en cuisine, à l’atelier ou sur un bulletin de paie.

Ce que tu sauras faire

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

reconnaître si une situation est une situation de proportionnalité ;
calculer un coefficient de proportionnalité et l’utiliser ;
trouver une quatrième proportionnelle (la fameuse « règle de trois ») ;
appliquer un pourcentage : remise, TVA, hausse, baisse ;
utiliser un coefficient multiplicateur pour aller plus vite ;
exploiter une échelle pour passer d’un plan à la réalité.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Tu en fais déjà sans le savoir. Quand tu achètes 3 paires de chaussettes au lieu d’1, tu payes 3 fois plus : c’est de la proportionnalité. Quand une paire de sneakers est affichée « -30 % », c’est un pourcentage. Quand tu prépares une recette de food-truck pour 6 personnes au lieu de 4, tu adaptes les quantités : encore de la proportionnalité.

En entreprise, c’est partout : un devis, une facture, une remise, la TVA, la gestion d’un stock, le calcul d’un salaire ou la lecture d’un plan. Maîtriser ce chapitre, c’est gagner du temps et éviter les erreurs qui coûtent cher.

1. Reconnaître la proportionnalité

Situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.

Exemple : si 1 croissant coûte $0{,}90$ €, alors 2 croissants coûtent $1{,}80$ €, 3 croissants coûtent $2{,}70$ €… On multiplie toujours le nombre de croissants par $0{,}90$ pour obtenir le prix. Le prix est proportionnel à la quantité.

Tableau de proportionnalité

On présente souvent ces situations dans un tableau de proportionnalité : on passe de la ligne du haut à la ligne du bas en multipliant par le coefficient.

Nombre de croissants	$1$	$3$	$7$
Prix (en €)	$0{,}90$	$2{,}70$	$6{,}30$

Ici, le coefficient est $0{,}90$ (le prix d’un croissant) : $3 \times 0{,}90 = 2{,}70$ et $7 \times 0{,}90 = 6{,}30$ .

Comment vérifier que c'est proportionnel ?

Dans un tableau, divise chaque valeur du bas par la valeur du haut juste au-dessus. Si tu trouves toujours le même nombre, c’est proportionnel.

$\frac{0{,}90}{1} = 0{,}90 \qquad \frac{2{,}70}{3} = 0{,}90 \qquad \frac{6{,}30}{7} = 0{,}90$

Même résultat partout : c’est bien une situation de proportionnalité.

2. Le coefficient de proportionnalité

Calculer le coefficient

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs du haut pour obtenir celles du bas. On le calcule en divisant une valeur du bas par la valeur du haut correspondante :

$\text{coefficient} = \frac{\text{valeur du bas}}{\text{valeur du haut}}$

Une fois ce coefficient connu, on l’utilise pour compléter tout le tableau.

Exemple : prix au kilo

Une boutique vend $3$ kg de pommes pour $5{,}10$ €. Quel est le prix de $8$ kg ?

Le prix est proportionnel à la masse. Coefficient (le prix d’un kilo) : $\frac{5{,}10}{3} = 1{,}70 \text{ €/kg}$

Prix de $8$ kg : $8 \times 1{,}70 = 13{,}60$ €.

3. La quatrième proportionnelle (règle de trois)

Quatrième proportionnelle

Dans un tableau de proportionnalité, quand on connaît trois valeurs et qu’il en manque une, la valeur manquante s’appelle la quatrième proportionnelle.

Quantité	$a$	$c$
Prix	$b$	$x$

Pour la trouver, on utilise le produit en croix : $x = \frac{b \times c}{a}$

Trouver une quatrième proportionnelle

Ranger les données dans un tableau à deux lignes, en mettant les grandeurs de même nature l’une sous l’autre.
Repérer la case vide $x$ .
Multiplier les deux nombres situés en diagonale de la case vide.
Diviser ce produit par le troisième nombre.

Exemple : $3$ croissants coûtent $2{,}70$ €, combien coûtent $7$ croissants ?

Croissants	$3$	$7$
Prix (€)	$2{,}70$	$x$

$x = \frac{2{,}70 \times 7}{3} = \frac{18{,}90}{3} = 6{,}30 \text{ €}$

Attention au sens du produit en croix

Pour trouver $x$ dans le tableau ci-dessus, FAUX : écrire $x = \dfrac{3 \times 7}{2{,}70}$ (on a multiplié les deux nombres du haut au lieu des deux nombres en diagonale de la case vide).

VRAI : on multiplie les deux nombres en diagonale de la case vide, puis on divise par le dernier : $x = \frac{2{,}70 \times 7}{3} = 6{,}30 \text{ €}$

Le réflexe : la case vide se calcule avec les deux nombres qui ne sont pas sur sa ligne ni sa colonne au numérateur.

4. Les pourcentages

Prendre un pourcentage d'une quantité

Un pourcentage est une proportion exprimée sur $100$ . Prendre $t$  % d’une quantité, c’est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ :

$t \,\% \text{ de } Q = Q \times \frac{t}{100}$

Exemple : $15$  % de $80$ € $= 80 \times \dfrac{15}{100} = 80 \times 0{,}15 = 12$ €.

Exemple : la TVA d'une facture

Un artisan facture une prestation $200$ € hors taxes (HT). La TVA est de $20$  %. Quel est le montant de la TVA, puis le prix toutes taxes comprises (TTC) ?

Montant de la TVA : $200 \times \dfrac{20}{100} = 200 \times 0{,}20 = 40$ €.

Prix TTC : $200 + 40 = 240$ €.

5. Le coefficient multiplicateur

C’est l’outil le plus rapide pour les remises, hausses et baisses : il permet de calculer le prix final en une seule multiplication, sans calculer la remise à part.

Coefficient multiplicateur d'une hausse ou d'une baisse

Augmenter de $t$  % revient à multiplier par : $1 + \frac{t}{100}$
Diminuer de $t$  % (remise, solde, baisse) revient à multiplier par : $1 - \frac{t}{100}$

Exemple : une remise commerciale

Une paire de sneakers est affichée $80$ € en boutique. Le vendeur applique une remise de $15$  %. Quel est le prix soldé ?

Remise de $15$  %, il reste donc $100 - 15 = 85$  % du prix. Coefficient multiplicateur : $1 - \frac{15}{100} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$

Prix soldé : $80 \times 0{,}85 = 68$ €.

Exemple : une hausse de prix

Un abonnement streaming à $12$ € par mois augmente de $5$  %. Coefficient multiplicateur d’une hausse de $5$  % : $1 + \frac{5}{100} = 1{,}05$

Nouveau prix : $12 \times 1{,}05 = 12{,}60$ € par mois.

Le piège classique de la remise

Pour une remise de $15$  % sur $80$ €, FAUX : multiplier directement par $0{,}15$ et annoncer $80 \times 0{,}15 = 12$ € (ça, c’est le montant de la remise, pas le prix à payer).

VRAI : il reste $85$  % du prix, donc on multiplie par $0{,}85$ : $80 \times 0{,}85 = 68 \text{ €}$

Retiens la règle : pour une baisse de $t$  %, le coefficient est $1 - \dfrac{t}{100}$ ; pour une hausse, c’est $1 + \dfrac{t}{100}$ . Le coefficient d’un prix qui change est toujours proche de $1$ .

Calculer un taux d'évolution

Quand une quantité passe d’une valeur de départ à une valeur d’arrivée, le taux d’évolution (en %) se calcule ainsi :

$\text{taux} = \frac{\text{valeur d'arrivée} - \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}} \times 100$

Si le résultat est positif, c’est une hausse ; s’il est négatif, c’est une baisse.

6. Les échelles

Échelle d'un plan ou d'une carte

L’échelle est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles, exprimées dans la même unité.

Une échelle de $\dfrac{1}{50}$ (on lit « un cinquantième ») signifie que $1$ cm sur le plan représente $50$ cm en vrai.

$\text{échelle} = \frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$

Passer du plan au réel (et inversement)

Du plan vers le réel : on multiplie la mesure du plan par le dénominateur de l’échelle.
Du réel vers le plan : on divise la mesure réelle par le dénominateur de l’échelle.

Exemple : sur un plan à l’échelle $\dfrac{1}{50}$ , une allée mesure $12$ cm. Longueur réelle : $12 \times 50 = 600 \text{ cm} = 6 \text{ m}$

Échelle et unités

FAUX : laisser le résultat en centimètres et annoncer une allée de $600$ cm sans réfléchir, ou pire, multiplier des centimètres du plan par des mètres.

VRAI : on travaille d’abord dans la même unité (ici tout en cm), puis on convertit le résultat final dans une unité parlante : $600$ cm $= 6$ m. Rappel utile : $1$ m $= 100$ cm.

Le mémo du chapitre

Tout ce chapitre tient en une idée : multiplier (ou diviser) par le bon coefficient.

Plus d’articles, plus de quantité : règle de trois ou coefficient.
Remise, solde, baisse : coefficient $1 - \dfrac{t}{100}$ .
Hausse, augmentation, TVA en plus : coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$ .
Plan vers réel : on multiplie par le dénominateur de l’échelle.

Et toujours un dernier réflexe : l’ordre de grandeur est-il cohérent ?

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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La recette du food-truck

Dans un food-truck, la recette d'un plat est prévue pour $4$ personnes. Elle nécessite $600$ g de riz et $300$ g de poulet. Un groupe de $6$ personnes commande ce plat. Quelles quantités de riz et de poulet faut-il prévoir pour $6$ personnes ?

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La TVA de la facture

Dans un atelier de réparation de vélos, un technicien facture une remise en état pour un montant de $150$ € hors taxes (HT). Sur cette prestation, la TVA est de $20$ %. 1) Calculer le montant de la TVA. 2) En déduire le prix toutes taxes comprises (TTC) payé par le client.

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Le prix des croissants

À la boulangerie, $3$ croissants identiques coûtent $2{,}70$ €. Tous les croissants sont vendus au même prix. Quel est le prix de $7$ croissants ?

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La remise sur les sneakers

Dans une boutique, une paire de sneakers est affichée $80$ €. Pendant les soldes, le vendeur applique une remise de $15$  %. Calculer le prix soldé en utilisant le coefficient multiplicateur.

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Le plan de l'atelier

Sur le plan d'un atelier dessiné à l'échelle $\frac{1}{50}$ , une allée de circulation mesure $12$ cm. Quelle est la longueur réelle de cette allée ? Donner le résultat en mètres.

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Le plan du setup gaming

Avant d'aménager sa chambre, un joueur dessine le plan de son installation gaming à l'échelle $\dfrac{1}{20}$ . Dans la réalité, son bureau mesure $160$ cm de long et le mur du fond mesure $3$ m. 1) Quelle longueur le bureau doit-il faire sur le plan ? 2) Quelle longueur le mur du fond doit-il faire sur le plan ? Donner les deux résultats en centimètres.

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Bonus

L'augmentation de salaire

Le salaire net mensuel d'un employé passe de $1\,400$ € à $1\,470$ € à la suite d'une augmentation. 1) Calculer le taux d'évolution de ce salaire, en pourcentage. 2) L'année suivante, le salaire augmente une nouvelle fois du même taux. Calculer le nouveau salaire.

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La commande de maillots

Un club de foot commande des maillots floqués pour son équipe. Le fournisseur vend chaque maillot $18$ €, et accorde une remise de $12$ % sur le montant total dès que la commande atteint $20$ maillots ou plus. Le club commande exactement $20$ maillots. 1) Calculer le prix de ces $20$ maillots avant remise. 2) Calculer le prix après la remise, en utilisant le coefficient multiplicateur. 3) Le club dispose d'un budget de $320$ €. Cette commande tient-elle dans le budget ?

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Dans un tableau, on vérifie que le quotient de chaque valeur du bas par la valeur du haut juste au-dessus donne toujours le même résultat. Le prix payé en fonction du nombre d'articles identiques est proportionnel : chaque article coûte le même prix.

Qu'est-ce que le coefficient multiplicateur d'une remise ?

Pour appliquer une remise en une seule opération, on multiplie le prix par un coefficient. Pour une remise de 15 pour cent, on enlève 15 pour cent, il reste donc 85 pour cent du prix : le coefficient multiplicateur est 0,85. On calcule directement le prix soldé en multipliant le prix de départ par 0,85, sans calculer la remise à part.

Comment utiliser une échelle pour trouver une longueur réelle ?

Une échelle de 1 sur 50 signifie que 1 cm sur le plan représente 50 cm en vrai. Pour passer du plan au réel, on multiplie la mesure du plan par 50. Pour passer du réel au plan, on divise par 50. L'échelle est donc le coefficient de proportionnalité entre les longueurs du plan et les longueurs réelles.