Aller au contenu
Rêves Vision
Première ST2S

Construire l'arbre d'un dépistage

Énoncé

Dans une population, une maladie MM touche 5 %5\,\% des personnes : P(M)=0,05.P(M) = 0{,}05. Un test de dépistage TT est utilisé. Chez une personne malade, il est positif dans 80 %80\,\% des cas : PM(T)=0,80.P_M(T) = 0{,}80. Chez une personne non malade, il est négatif dans 90 %90\,\% des cas : PM‾(T‾)=0,90.P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90. a) Déterminer P(M‾)P(\overline{M}), PM(T‾)P_M(\overline{T}) et PM‾(T).P_{\overline{M}}(T). b) Calculer P(M∩T)P(M \cap T), la probabilité d'être malade et d'avoir un test positif. c) Calculer P(M‾∩T)P(\overline{M} \cap T), la probabilité d'être non malade et d'avoir un test positif (un faux positif).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour chaque nœud, les deux branches ont une somme égale à 1.1. Le contraire de MM se note M‾\overline{M} et P(M‾)=1−P(M).P(\overline{M}) = 1 - P(M).
  2. Attention : PM‾(T‾)=0,90P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90 est donné, donc PM‾(T)=1−0,90.P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}90. C'est la branche du faux positif.
  3. La probabilité d'un chemin est le produit des deux probabilités le long de ce chemin : P(M∩T)=P(M)×PM(T).P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Probabilités contraires

    Pour le premier niveau : P(M‾)=1−P(M)=1−0,05=0,95.P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95. Pour les branches du second niveau, on utilise la somme égale à 11 à chaque nœud : PM(T‾)=1−PM(T)=1−0,80=0,20P_M(\overline{T}) = 1 - P_M(T) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20, et PM‾(T)=1−PM‾(T‾)=1−0,90=0,10.P_{\overline{M}}(T) = 1 - P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10.

  2. 2. b) Vrais positifs

    On multiplie les probabilités le long du chemin MM puis TT : P(M∩T)=P(M)×PM(T)=0,05×0,80=0,04.P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}05 \times 0{,}80 = 0{,}04. Il y a donc 4 %4\,\% de personnes à la fois malades et au test positif.

  3. 3. c) Faux positifs

    On multiplie le long du chemin M‾\overline{M} puis TT : P(M‾∩T)=P(M‾)×PM‾(T)=0,95×0,10=0,095.P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T) = 0{,}95 \times 0{,}10 = 0{,}095. Il y a 4 %4\,\% de vrais positifs et 9,5 %9{,}5\,\% de faux positifs : les faux positifs sont plus nombreux que les vrais positifs, car les non-malades sont beaucoup plus nombreux.
Réponse finale
P(M‾)=0,95 ; PM(T‾)=0,20 ; PM‾(T)=0,10;P(M∩T)=0,04;P(M‾∩T)=0,095P(\overline{M}) = 0{,}95 \ ;\ P_M(\overline{T}) = 0{,}20 \ ;\ P_{\overline{M}}(T) = 0{,}10 \quad ; \quad P(M \cap T) = 0{,}04 \quad ; \quad P(\overline{M} \cap T) = 0{,}095
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Probabilités conditionnelles et indépendance ← Retour au cours

À suivre