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Rêves Vision
Première ST2S

Un facteur de risque est-il lié à la maladie ?

Énoncé

Une étude porte sur 500500 personnes. On note FF l'événement « la personne est sédentaire » et MM l'événement « la personne présente l'affection étudiée ». On relève : 200200 personnes sédentaires, 150150 personnes atteintes de l'affection, et 9090 personnes à la fois sédentaires et atteintes. On choisit une personne au hasard. a) Calculer P(F)P(F), P(M)P(M) et P(F∩M).P(F \cap M). b) Les événements FF et MM sont-ils indépendants ? c) Calculer PF(M)P_F(M) et comparer à P(M).P(M). Interpréter.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Chaque probabilité simple s'obtient en divisant l'effectif concerné par l'effectif total 500.500.
  2. Deux événements sont indépendants lorsque P(F∩M)=P(F)×P(M).P(F \cap M) = P(F) \times P(M). Calcule séparément les deux membres puis compare-les.
  3. Pour PF(M)P_F(M), on se restreint aux 200200 personnes sédentaires : PF(M)=P(F∩M)P(F).P_F(M) = \dfrac{P(F \cap M)}{P(F)}. Compare ensuite à P(M)P(M) pour conclure.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Les trois probabilités

    On divise chaque effectif par le total 500.500. P(F)=200500=0,40.P(F) = \dfrac{200}{500} = 0{,}40. P(M)=150500=0,30.P(M) = \dfrac{150}{500} = 0{,}30. P(F∩M)=90500=0,18.P(F \cap M) = \dfrac{90}{500} = 0{,}18.

  2. 2. b) Test d'indépendance

    On compare P(F∩M)P(F \cap M) au produit P(F)×P(M).P(F) \times P(M). Or P(F)×P(M)=0,40×0,30=0,12.P(F) \times P(M) = 0{,}40 \times 0{,}30 = 0{,}12. Comme 0,18≠0,120{,}18 \neq 0{,}12, l'égalité n'est pas vérifiée : les événements FF et MM ne sont pas indépendants, ils sont liés.

  3. 3. c) Comparer la proportion de malades

    On se place parmi les sédentaires : PF(M)=P(F∩M)P(F)=0,180,40=0,45.P_F(M) = \dfrac{P(F \cap M)}{P(F)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}40} = 0{,}45. Or la proportion de malades dans toute la population est P(M)=0,30.P(M) = 0{,}30. Comme 0,45>0,300{,}45 > 0{,}30, la maladie est plus fréquente chez les personnes sédentaires. La sédentarité apparaît ici comme un facteur de risque associé à l'affection.
Réponse finale
P(F)=0,40 ; P(M)=0,30 ; P(F∩M)=0,18;0,18≠0,12 donc non indeˊpendants;PF(M)=0,45>P(M)P(F) = 0{,}40 \ ;\ P(M) = 0{,}30 \ ;\ P(F \cap M) = 0{,}18 \quad ; \quad 0{,}18 \neq 0{,}12 \text{ donc non indépendants} \quad ; \quad P_F(M) = 0{,}45 > P(M)
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