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Rêves Vision
Première ST2S

Calculer une espérance à partir d'un tableau

Énoncé

Dans un centre de vaccination, on note XX le nombre de vaccins reçus dans l'année par une personne choisie au hasard parmi les personnes suivies. La loi de probabilité de XX est donnée par le tableau : P(X=0)=0,1P(X = 0) = 0{,}1, P(X=1)=0,3P(X = 1) = 0{,}3, P(X=2)=0,3P(X = 2) = 0{,}3, P(X=3)=0,2P(X = 3) = 0{,}2 et P(X=4)=0,1.P(X = 4) = 0{,}1. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par vérifier que la somme des probabilités vaut bien 1.1.
  2. L'espérance est la somme de chaque valeur multipliée par sa probabilité : E(X)=∑xi pi.E(X) = \sum x_i\, p_i. Calcule chaque produit xi×pix_i \times p_i, puis additionne-les.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier la loi de probabilité

    On additionne d'abord les probabilités pour s'assurer qu'il s'agit d'une loi valable : 0,1+0,3+0,3+0,2+0,1=1.0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1. La somme vaut 11, le tableau est donc bien une loi de probabilité.

  2. 2. Écrire la formule de l'espérance

    L'espérance est la somme de chaque valeur multipliée par sa probabilité : E(X)=∑xi pi=0×0,1+1×0,3+2×0,3+3×0,2+4×0,1.E(X) = \sum x_i\, p_i = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}1.

  3. 3. Calculer les produits puis la somme

    On calcule chaque produit : 0×0,1=00 \times 0{,}1 = 0 ; 1×0,3=0,31 \times 0{,}3 = 0{,}3 ; 2×0,3=0,62 \times 0{,}3 = 0{,}6 ; 3×0,2=0,63 \times 0{,}2 = 0{,}6 ; 4×0,1=0,4.4 \times 0{,}1 = 0{,}4. On additionne : E(X)=0+0,3+0,6+0,6+0,4=1,9.E(X) = 0 + 0{,}3 + 0{,}6 + 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}9.

  4. 4. Conclure et interpréter

    L'espérance vaut E(X)=1,9.E(X) = 1{,}9. En moyenne, une personne suivie reçoit donc 1,91{,}9 vaccin dans l'année. Cette valeur ne correspond pas à un nombre réellement reçu par une personne donnée : c'est une valeur moyenne attendue sur l'ensemble des personnes suivies, utile pour estimer le nombre total de doses à prévoir.
Réponse finale
E(X)=∑xi pi=0×0,1+1×0,3+2×0,3+3×0,2+4×0,1=1,9 vaccinE(X) = \sum x_i\, p_i = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}1 = 1{,}9 \text{ vaccin}
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