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Rêves Vision
Première ST2S

Efficacité d'un traitement : espérance et variance

Énoncé

Un traitement est efficace dans 70 %70\,\% des cas. On l'administre à un patient pris au hasard et on appelle « succès » le fait que le traitement soit efficace. On note X=1X = 1 si le traitement est efficace et X=0X = 0 sinon. 1) Justifier que XX suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Calculer l'espérance E(X)E(X), la variance V(X)V(X) et l'écart-type σ(X)\sigma(X) (arrondir l'écart-type au centième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'expérience n'a que deux issues : traitement efficace (succès) ou non (échec). Le paramètre pp est la probabilité du succès.
  2. Pour une loi de Bernoulli de paramètre pp, on a directement E(X)=pE(X) = p et V(X)=p (1−p).V(X) = p\,(1 - p). L'écart-type est σ(X)=V(X).\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Reconnaître la loi de Bernoulli

    L'expérience n'a que deux issues : le traitement est efficace (succès) ou ne l'est pas (échec). La probabilité du succès est p=0,7.p = 0{,}7. Comme XX vaut 11 en cas de succès et 00 sinon, XX suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0,7.p = 0{,}7.

  2. 2. Calculer l'espérance

    Pour une loi de Bernoulli de paramètre pp, l'espérance vaut E(X)=p.E(X) = p. Ici E(X)=0,7.E(X) = 0{,}7. Elle s'interprète comme la proportion attendue de patients pour lesquels le traitement est efficace.

  3. 3. Calculer la variance

    Pour une loi de Bernoulli, la variance vaut V(X)=p (1−p).V(X) = p\,(1 - p). Ici V(X)=0,7×(1−0,7)=0,7×0,3=0,21.V(X) = 0{,}7 \times (1 - 0{,}7) = 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21.

  4. 4. Calculer l'écart-type et conclure

    L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)=0,21≈0,46.\sigma(X) = \sqrt{0{,}21} \approx 0{,}46. En résumé : E(X)=0,7E(X) = 0{,}7, V(X)=0,21V(X) = 0{,}21 et σ(X)≈0,46.\sigma(X) \approx 0{,}46. L'espérance indique qu'en moyenne 70 %70\,\% des patients répondent au traitement.
Réponse finale
X∼Bernoulli(0,7)  ;E(X)=p=0,7  ;V(X)=p (1−p)=0,7×0,3=0,21  ;σ(X)=0,21≈0,46X \sim \text{Bernoulli}(0{,}7)\;;\quad E(X) = p = 0{,}7\;;\quad V(X) = p\,(1 - p) = 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21\;;\quad \sigma(X) = \sqrt{0{,}21} \approx 0{,}46
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