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Rêves Vision
Première ST2S

Un dépistage modélisé par une loi de Bernoulli

Énoncé

Dans une population, 15 %15\,\% des personnes testées lors d'un dépistage obtiennent un résultat positif. On choisit une personne au hasard et on note XX la variable aléatoire qui vaut 11 si son test est positif (le « succès » étudié) et 00 sinon. 1) Justifier que XX suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Donner la loi de probabilité de XX dans un tableau. 3) Calculer l'espérance E(X).E(X).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître une épreuve de Bernoulli

    L'expérience n'a que deux issues : le test est positif (succès) ou négatif (échec). On étudie le succès « test positif », dont la probabilité est p=0,15.p = 0{,}15. Comme XX vaut 11 en cas de succès et 00 en cas d'échec, XX suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0,15.p = 0{,}15.

  2. 2. Écrire la loi de probabilité

    La probabilité de l'échec (test négatif) est 1−p=1−0,15=0,85.1 - p = 1 - 0{,}15 = 0{,}85. La loi de probabilité de XX est donc : P(X=1)=0,15P(X = 1) = 0{,}15 et P(X=0)=0,85.P(X = 0) = 0{,}85. On vérifie : 0,15+0,85=1.0{,}15 + 0{,}85 = 1.

  3. 3. Calculer l'espérance

    Pour une loi de Bernoulli de paramètre pp, l'espérance est directement E(X)=p.E(X) = p. Ici E(X)=0,15.E(X) = 0{,}15. On peut le retrouver par le calcul : E(X)=1×0,15+0×0,85=0,15.E(X) = 1 \times 0{,}15 + 0 \times 0{,}85 = 0{,}15.

  4. 4. Conclure et interpréter

    XX suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0,15p = 0{,}15 et E(X)=0,15.E(X) = 0{,}15. L'espérance s'interprète comme la proportion de tests positifs attendue : sur un grand nombre de personnes dépistées, on attend environ 15 %15\,\% de résultats positifs.
Réponse finale
X∼Bernoulli(0,15)  ;P(X=1)=0,15, P(X=0)=0,85  ;E(X)=p=0,15X \sim \text{Bernoulli}(0{,}15)\;;\quad P(X = 1) = 0{,}15,\ P(X = 0) = 0{,}85\;;\quad E(X) = p = 0{,}15
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