Aller au contenu
Rêves Vision
Première ST2S

Loi, espérance, variance et écart-type (étude complète)

Énoncé

Un infirmier libéral note XX le nombre d'actes réalisés lors d'une visite à domicile, pour une visite prise au hasard. La loi de probabilité de XX est : P(X=0)=0,15P(X = 0) = 0{,}15, P(X=1)=0,35P(X = 1) = 0{,}35, P(X=2)=0,35P(X = 2) = 0{,}35 et P(X=3)=0,15.P(X = 3) = 0{,}15. 1) Vérifier qu'il s'agit d'une loi de probabilité. 2) Calculer l'espérance E(X)E(X) et l'interpréter. 3) Calculer la variance V(X)V(X) puis l'écart-type σ(X)\sigma(X) (arrondir au centième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour vérifier la loi, additionne les quatre probabilités : tu dois trouver 1.1.
  2. Calcule d'abord E(X)=∑xi piE(X) = \sum x_i\, p_i, puis note m=E(X).m = E(X). La variance est V(X)=∑pi (xi−m)2V(X) = \sum p_i\,(x_i - m)^2 : pour chaque valeur, calcule l'écart xi−mx_i - m, élève-le au carré, multiplie par pip_i, puis additionne.
  3. L'écart-type σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)} s'exprime dans la même unité que XX (un nombre d'actes) : c'est lui qu'on commente pour la dispersion, pas la variance.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier la loi de probabilité

    On additionne les probabilités : 0,15+0,35+0,35+0,15=1.0{,}15 + 0{,}35 + 0{,}35 + 0{,}15 = 1. La somme vaut 11 : il s'agit bien d'une loi de probabilité.

  2. 2. Calculer l'espérance

    On applique E(X)=∑xi pi=0×0,15+1×0,35+2×0,35+3×0,15.E(X) = \sum x_i\, p_i = 0 \times 0{,}15 + 1 \times 0{,}35 + 2 \times 0{,}35 + 3 \times 0{,}15. Soit E(X)=0+0,35+0,7+0,45=1,5.E(X) = 0 + 0{,}35 + 0{,}7 + 0{,}45 = 1{,}5. En moyenne, une visite comporte donc 1,51{,}5 acte : c'est la valeur moyenne attendue par visite.

  3. 3. Calculer la variance

    On note m=E(X)=1,5m = E(X) = 1{,}5, puis V(X)=∑pi (xi−m)2.V(X) = \sum p_i\,(x_i - m)^2. Les écarts au carré sont : (0−1,5)2=2,25(0 - 1{,}5)^2 = 2{,}25 ; (1−1,5)2=0,25(1 - 1{,}5)^2 = 0{,}25 ; (2−1,5)2=0,25(2 - 1{,}5)^2 = 0{,}25 ; (3−1,5)2=2,25.(3 - 1{,}5)^2 = 2{,}25. Donc V(X)=0,15×2,25+0,35×0,25+0,35×0,25+0,15×2,25.V(X) = 0{,}15 \times 2{,}25 + 0{,}35 \times 0{,}25 + 0{,}35 \times 0{,}25 + 0{,}15 \times 2{,}25.

  4. 4. Terminer le calcul de la variance

    On calcule chaque produit : 0,15×2,25=0,33750{,}15 \times 2{,}25 = 0{,}3375 ; 0,35×0,25=0,08750{,}35 \times 0{,}25 = 0{,}0875 ; 0,35×0,25=0,08750{,}35 \times 0{,}25 = 0{,}0875 ; 0,15×2,25=0,3375.0{,}15 \times 2{,}25 = 0{,}3375. En additionnant : V(X)=0,3375+0,0875+0,0875+0,3375=0,85.V(X) = 0{,}3375 + 0{,}0875 + 0{,}0875 + 0{,}3375 = 0{,}85.

  5. 5. Calculer l'écart-type et conclure

    L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)=0,85≈0,92.\sigma(X) = \sqrt{0{,}85} \approx 0{,}92. En résumé : E(X)=1,5E(X) = 1{,}5 acte, V(X)=0,85V(X) = 0{,}85 et σ(X)≈0,92\sigma(X) \approx 0{,}92 acte. Le nombre d'actes par visite varie typiquement d'environ 0,920{,}92 autour de la moyenne de 1,5.1{,}5.
Réponse finale
E(X)=0×0,15+1×0,35+2×0,35+3×0,15=1,5  ;V(X)=0,85  ;σ(X)=0,85≈0,92E(X) = 0 \times 0{,}15 + 1 \times 0{,}35 + 2 \times 0{,}35 + 3 \times 0{,}15 = 1{,}5\;;\quad V(X) = 0{,}85\;;\quad \sigma(X) = \sqrt{0{,}85} \approx 0{,}92
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Variable aléatoire, espérance et loi de Bernoulli ← Retour au cours

À suivre