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Rêves Vision
Première STMG

Contrôle qualité sur deux machines

Énoncé

Un atelier fabrique des pièces avec deux machines. La machine AA produit 60 %60\,\% des pièces et la machine BB le reste. La machine AA produit 3 %3\,\% de pièces défectueuses, la machine BB en produit 8 %8\,\%. On prélève une pièce au hasard dans la production. On note AA : « la pièce vient de la machine A », BB : « la pièce vient de la machine B » et DD : « la pièce est défectueuse ». Calculer la probabilité P(D)P(D) qu'une pièce prélevée soit défectueuse.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Trace l'arbre : premier niveau A et B, deuxième niveau défectueuse ou non, avec les taux de défaut comme probabilités conditionnelles.
  2. Une pièce défectueuse peut venir de A ou de B : il y a deux chemins menant à DD.
  3. Multiplie le long de chaque chemin, puis additionne les deux résultats.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre les données sous forme de probabilités

    Les pourcentages deviennent des probabilités : P(A)=0,6P(A) = 0{,}6 et P(B)=0,4P(B) = 0{,}4 (car 1−0,6=0,41 - 0{,}6 = 0{,}4). Les taux de défaut sont des probabilités conditionnelles : PA(D)=0,03P_A(D) = 0{,}03 et PB(D)=0,08.P_B(D) = 0{,}08.

  2. 2. Calculer la probabilité de chaque chemin menant à D

    Avec la règle du produit : P(A∩D)=P(A)×PA(D)=0,6×0,03=0,018P(A\cap D) = P(A)\times P_A(D) = 0{,}6\times 0{,}03 = 0{,}018 et P(B∩D)=P(B)×PB(D)=0,4×0,08=0,032.P(B\cap D) = P(B)\times P_B(D) = 0{,}4\times 0{,}08 = 0{,}032.

  3. 3. Appliquer la formule des probabilités totales

    Une pièce défectueuse vient soit de AA, soit de BB : on additionne les deux chemins. P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)=0,018+0,032.P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0{,}018 + 0{,}032.

  4. 4. Conclure

    P(D)=0,018+0,032=0,05.P(D) = 0{,}018 + 0{,}032 = 0{,}05. La probabilité qu'une pièce prélevée soit défectueuse est P(D)=0,05.P(D) = 0{,}05. Le taux global de défaut de l'atelier est donc de 5 %.5\,\%.
Réponse finale
P(D)=P(A)×PA(D)+P(B)×PB(D)=0,6×0,03+0,4×0,08=0,05P(D) = P(A)\times P_A(D) + P(B)\times P_B(D) = 0{,}6\times 0{,}03 + 0{,}4\times 0{,}08 = 0{,}05
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