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Rêves Vision
Première STMG

Taux de retour et probabilité inversée

Énoncé

Un grossiste reçoit ses articles de deux fournisseurs. Le fournisseur AA livre 80 %80\,\% des articles, le fournisseur BB les 20 %20\,\% restants. Un article du fournisseur AA est retourné par le client avec une probabilité 0,050{,}05 ; un article du fournisseur BB est retourné avec une probabilité 0,100{,}10. On note AA, BB et RR (« l'article est retourné »). 1) Calculer P(R)P(R). 2) Un article est retourné : calculer la probabilité PR(B)P_R(B) qu'il provienne du fournisseur BB.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Construis l'arbre A/B puis retour/non-retour, et calcule P(R)P(R) avec la formule des probabilités totales.
  2. Pour PR(B)P_R(B), attention au sens : on conditionne par R cette fois, donc on divise par P(R)P(R).
  3. Utilise PR(B)=P(B∩R)P(R)P_R(B) = \dfrac{P(B\cap R)}{P(R)} avec les valeurs déjà trouvées.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser les probabilités de l'arbre

    P(A)=0,8P(A) = 0{,}8 et P(B)=0,2.P(B) = 0{,}2. Les taux de retour sont conditionnels : PA(R)=0,05P_A(R) = 0{,}05 et PB(R)=0,10.P_B(R) = 0{,}10.

  2. 2. Calculer les probabilités des chemins menant à R

    P(A∩R)=P(A)×PA(R)=0,8×0,05=0,04.P(A\cap R) = P(A)\times P_A(R) = 0{,}8\times 0{,}05 = 0{,}04. P(B∩R)=P(B)×PB(R)=0,2×0,10=0,02.P(B\cap R) = P(B)\times P_B(R) = 0{,}2\times 0{,}10 = 0{,}02.

  3. 3. Calculer P(R) par les probabilités totales

    Un article retourné vient de AA ou de BB : P(R)=P(A∩R)+P(B∩R)=0,04+0,02=0,06.P(R) = P(A\cap R) + P(B\cap R) = 0{,}04 + 0{,}02 = 0{,}06.

  4. 4. Inverser le conditionnement

    On cherche maintenant PR(B)P_R(B) : parmi les articles retournés, la part qui vient de BB. Par la formule de la probabilité conditionnelle : PR(B)=P(B∩R)P(R)=0,020,06.P_R(B) = \dfrac{P(B\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}02}{0{,}06}.

  5. 5. Calculer et conclure

    PR(B)=0,020,06=13≈0,33.P_R(B) = \dfrac{0{,}02}{0{,}06} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33. On a P(R)=0,06P(R) = 0{,}06 et PR(B)=13≈0,33.P_R(B) = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33. Bien que BB ne fournisse que 20 %20\,\% des articles, il représente environ un tiers des retours, car son taux de retour est deux fois plus élevé.
Réponse finale
P(R)=0,06etPR(B)=P(B∩R)P(R)=0,020,06=13≈0,33P(R) = 0{,}06 \quad\text{et}\quad P_R(B) = \dfrac{P(B\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}02}{0{,}06} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33
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