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Rêves Vision
Première STMG

Tester l'indépendance de deux événements

Énoncé

Dans un fichier de 500500 clients, on étudie deux caractères : posséder la carte de fidélité (événement FF) et avoir acheté pendant les soldes (événement VV). On relève : 200200 clients possèdent la carte de fidélité, 250250 clients ont acheté pendant les soldes, et 100100 clients possèdent la carte et ont acheté pendant les soldes. Les événements FF et VV sont-ils indépendants ?
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  1. Indépendance se teste avec l'égalité P(F∩V)=P(F)×P(V)P(F\cap V) = P(F)\times P(V).
  2. Calcule d'abord chaque probabilité comme un effectif divisé par 500500.
  3. Compare la valeur de P(F∩V)P(F\cap V) et celle du produit P(F)×P(V)P(F)\times P(V) : s'ils sont égaux, c'est indépendant.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Rappeler le critère d'indépendance

    Deux événements FF et VV sont indépendants si et seulement si P(F∩V)=P(F)×P(V).P(F\cap V) = P(F)\times P(V). Il faut donc calculer ces trois probabilités, puis comparer.

  2. 2. Calculer les probabilités simples

    P(F)=200500=0,4P(F) = \dfrac{200}{500} = 0{,}4 et P(V)=250500=0,5.P(V) = \dfrac{250}{500} = 0{,}5.

  3. 3. Calculer la probabilité de l'intersection

    Les clients qui possèdent la carte et ont acheté pendant les soldes sont au nombre de 100100 : P(F∩V)=100500=0,2.P(F\cap V) = \dfrac{100}{500} = 0{,}2.

  4. 4. Comparer avec le produit

    On calcule P(F)×P(V)=0,4×0,5=0,2.P(F)\times P(V) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2. Or P(F∩V)=0,2.P(F\cap V) = 0{,}2. Les deux nombres sont égaux.

  5. 5. Conclure

    Puisque P(F∩V)=P(F)×P(V)=0,2P(F\cap V) = P(F)\times P(V) = 0{,}2, les événements FF et VV sont indépendants. Posséder la carte de fidélité ne modifie pas la probabilité d'avoir acheté pendant les soldes.
Réponse finale
P(F∩V)=0,2=P(F)×P(V)=0,4×0,5  ⇒  F et V sont indeˊpendantsP(F\cap V) = 0{,}2 = P(F)\times P(V) = 0{,}4\times 0{,}5 \;\Rightarrow\; F \text{ et } V \text{ sont ind\'ependants}
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