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Rêves Vision
Première STMG

Espérance du gain d'un lancement de produit

Énoncé

Une entreprise étudie le lancement d'un nouveau produit. Selon l'accueil du marché, le bénéfice XX (en euros) sur la première année peut valoir 80008000 avec une probabilité de 0,50{,}5, 20002000 avec une probabilité de 0,30{,}3, ou −5000-5000 (perte) avec une probabilité de 0,20{,}2. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'espérance se calcule avec E(X)=∑xi piE(X) = \sum x_i\, p_i : chaque valeur multipliée par sa probabilité, puis on additionne tout.
  2. Attention au signe : la perte de 50005000 euros entre dans le calcul comme −5000-5000.
  3. Calcule séparément les trois produits 8000×0,58000 \times 0{,}5, 2000×0,32000 \times 0{,}3 et −5000×0,2-5000 \times 0{,}2 avant de les additionner.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Dresser la loi de probabilité

    Les valeurs et leurs probabilités sont xi=8000, 2000, −5000x_i = 8000,\ 2000,\ -5000 avec pi=0,5, 0,3, 0,2.p_i = 0{,}5,\ 0{,}3,\ 0{,}2. On vérifie d'abord que la somme des probabilités vaut 11 : 0,5+0,3+0,2=1.0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1.

  2. 2. Appliquer la formule de l'espérance

    E(X)=∑xi pi=8000×0,5+2000×0,3+(−5000)×0,2.E(X) = \sum x_i\, p_i = 8000 \times 0{,}5 + 2000 \times 0{,}3 + (-5000) \times 0{,}2. La perte de 50005000 euros compte bien comme une valeur négative.

  3. 3. Calculer chaque produit puis additionner

    8000×0,5=40008000 \times 0{,}5 = 4000,   2000×0,3=600\;2000 \times 0{,}3 = 600,   (−5000)×0,2=−1000.\;(-5000) \times 0{,}2 = -1000. D'où E(X)=4000+600−1000=3600.E(X) = 4000 + 600 - 1000 = 3600.

  4. 4. Conclure et interpréter

    L'espérance vaut E(X)=3600E(X) = 3600 euros. Elle est positive : en moyenne, sur un grand nombre de lancements comparables, ce produit rapporterait environ 36003600 euros la première année. Le lancement est donc en moyenne rentable, malgré le risque de perte.
Réponse finale
E(X)=8000×0,5+2000×0,3+(−5000)×0,2=3600E(X) = 8000 \times 0{,}5 + 2000 \times 0{,}3 + (-5000) \times 0{,}2 = 3600
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