Première STMG · Chapitre 7

Variable aléatoire, espérance et loi de Bernoulli

Cours de Première STMG sur la variable aléatoire : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type et loi de Bernoulli. Contexte gestion et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STMG - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En gestion, beaucoup de situations ont un résultat incertain : une commande sera-t-elle rentable ? une vente aboutira-t-elle ? une opération promotionnelle rapportera-t-elle de l’argent ? La variable aléatoire est l’outil qui permet de mettre un nombre sur chaque résultat possible, puis de calculer un gain moyen attendu grâce à l’espérance. Quand il n’y a que deux issues, succès ou échec, on utilise un modèle simple et très courant : la loi de Bernoulli.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaître une variable aléatoire $X$ et dresser sa loi de probabilité dans un tableau.
Je sais vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
Je sais calculer l’espérance $E(X) = \sum x_i\, p_i$ et l’interpréter comme une valeur (ou un gain) moyen attendu.
Je sais calculer la variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ .
Je sais reconnaître une épreuve de Bernoulli et utiliser la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , avec $E(X) = p$ et $V(X) = p(1-p)$ .

À quoi ça sert ?

Imagine que tu diriges un magasin. Tu lances une opération promotionnelle : selon le résultat, tu peux gagner ou perdre de l’argent. Tu ne connais pas le résultat à l’avance, mais tu connais les probabilités. L’espérance te répond à une question essentielle de gestion : « en moyenne, par opération, est-ce que je gagne ou je perds ? ». L’écart-type te dit si le résultat est régulier ou très variable d’une fois sur l’autre. Et quand tu suis une vente, qui aboutit ou non, la loi de Bernoulli modélise directement ce succès ou échec.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque résultat d’une expérience aléatoire. Les valeurs que $X$ peut prendre sont notées $x_1, x_2, \dots, x_n$ . Par exemple, si on tire une commande au hasard, on peut associer à chaque commande le bénéfice réalisé en euros : ce bénéfice est une variable aléatoire.

Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ donne, pour chaque valeur possible $x_i$ , la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de l’obtenir. On la présente dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$p_i$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Les probabilités sont toujours comprises entre $0$ et $1$ , et leur somme vaut $1$ : $p_1 + p_2 + \dots + p_n = \sum p_i = 1$

Dresser la loi de probabilité

Identifier toutes les valeurs $x_i$ que la variable peut prendre.
Calculer la probabilité $p_i$ de chaque valeur (souvent un rapport « cas favorables sur cas possibles »).
Reporter les couples $(x_i\,;\, p_i)$ dans un tableau.
Vérifier que $\sum p_i = 1$ : si la somme ne fait pas $1$ , il y a une erreur.

Espérance

Espérance d'une variable aléatoire

L’espérance de $X$ se calcule en multipliant chaque valeur par sa probabilité, puis en additionnant tous les produits : $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n = \sum x_i\, p_i$ C’est la valeur moyenne attendue de $X$ si on répétait l’expérience un très grand nombre de fois.

Interpréter l'espérance comme un gain moyen

Une boutique propose une carte de fidélité. Sur chaque carte vendue, le gain $X$ (en euros) pour la boutique vaut $5$ avec une probabilité de $0{,}7$ , et $-2$ avec une probabilité de $0{,}3$ (frais offerts). Alors : $E(X) = 5 \times 0{,}7 + (-2) \times 0{,}3 = 3{,}5 - 0{,}6 = 2{,}9$ En moyenne, chaque carte rapporte $2{,}9$ euros à la boutique. Comme l’espérance est positive, l’opération est en moyenne rentable.

Lire le signe de l'espérance (gestion)

Quand $X$ représente un gain en euros :

si $E(X) > 0$ , l’opération est en moyenne gagnante (bénéfice moyen par opération) ;
si $E(X) < 0$ , l’opération est en moyenne perdante (perte moyenne par opération) ;
si $E(X) = 0$ , l’opération est équilibrée en moyenne (on appelle cela un jeu équitable).

L’espérance ne dit pas ce qui arrivera une fois donnée : elle décrit le comportement moyen sur un grand nombre d’opérations.

Variance et écart-type

La variance mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de l’espérance. On la calcule avec : $V(X) = \sum p_i\,(x_i - E(X))^{2}$ L’écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ Plus $\sigma(X)$ est petit, plus les résultats sont réguliers (resserrés autour de la moyenne) ; plus il est grand, plus ils sont variables.

Calculer la variance puis l'écart-type

Calculer d’abord l’espérance $E(X)$ .
Pour chaque valeur, calculer l’écart à l’espérance $x_i - E(X)$ , puis l’élever au carré.
Multiplier chaque carré par sa probabilité $p_i$ et additionner : on obtient $V(X)$ .
Prendre la racine carrée de $V(X)$ pour obtenir $\sigma(X)$ .

L’écart-type s’exprime dans la même unité que $X$ (par exemple en euros), ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance.

Épreuve et loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues :

le succès, de probabilité $p$ ;
l’échec, de probabilité $1 - p$ .

Exemples en gestion : une vente aboutit ou non, un produit livré est conforme ou non, un client renouvelle son abonnement ou non.

Loi de Bernoulli de paramètre p

À une épreuve de Bernoulli, on associe la variable aléatoire $X$ qui vaut :

$1$ en cas de succès (probabilité $p$ ) ;
$0$ en cas d’échec (probabilité $1 - p$ ).

On dit alors que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Sa loi de probabilité est :

$x_i$	$0$	$1$
$p_i$	$1 - p$	$p$

Espérance et variance de la loi de Bernoulli

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors : $E(X) = p \qquad \text{et} \qquad V(X) = p\,(1 - p)$ On retrouve l’espérance par le calcul direct : $E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ L’écart-type vaut donc $\sigma(X) = \sqrt{p\,(1 - p)}$ .

Une vente comme épreuve de Bernoulli

Un commercial conclut une vente avec une probabilité $p = 0{,}4$ . On note $X = 1$ si la vente aboutit, $X = 0$ sinon : $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}4$ . Alors : $E(X) = p = 0{,}4 \qquad V(X) = p(1 - p) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$ L’espérance $0{,}4$ s’interprète comme la proportion moyenne de ventes réussies : sur un grand nombre de contacts, environ $40\,\%$ aboutissent.

Repérer une situation de Bernoulli

Pose-toi une seule question : « y a-t-il exactement deux issues ? » Si la réponse est oui (réussi ou raté, conforme ou non, oui ou non), tu es face à une épreuve de Bernoulli. Il te suffit alors d’identifier $p$ (la probabilité du succès) pour connaître aussitôt $E(X) = p$ et $V(X) = p(1-p)$ , sans refaire tout le calcul.

Les pièges classiques

FAUX : croire que l’espérance est forcément une valeur que $X$ peut prendre. VRAI : $E(X)$ est une moyenne ; elle peut tomber « entre » les valeurs possibles (par exemple $E(X) = 2{,}9$ ).
FAUX : oublier de vérifier que $\sum p_i = 1$ . VRAI : la somme des probabilités d’une loi vaut toujours $1$ ; sinon le tableau est faux.
FAUX : prendre la variance comme racine de l’écart-type. VRAI : c’est l’inverse, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
FAUX : pour une loi de Bernoulli, écrire $V(X) = p$ . VRAI : $E(X) = p$ mais $V(X) = p(1 - p)$ .
FAUX : oublier les valeurs négatives dans le calcul de l’espérance d’un gain. VRAI : une perte compte comme une valeur négative (par exemple $-2$ ) dans $\sum x_i\, p_i$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Compléter une loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ . On connaît une partie de sa loi de probabilité : $P(X = 0) = 0{,}5$ , $P(X = 1) = 0{,}3$ et $P(X = 2) = 0{,}15$ . Déterminer $P(X = 3)$ .

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Reconnaître une loi de Bernoulli (livraison conforme)

Dans un entrepôt, une livraison préparée est conforme avec une probabilité de $0{,}85$ (sinon elle est non conforme). On note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la livraison est conforme et $0$ sinon. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli, préciser son paramètre, puis donner $E(X)$ et $V(X)$ .

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Espérance du gain d'un lancement de produit

Une entreprise étudie le lancement d'un nouveau produit. Selon l'accueil du marché, le bénéfice $X$ (en euros) sur la première année peut valoir $8000$ avec une probabilité de $0{,}5$ , $2000$ avec une probabilité de $0{,}3$ , ou $-5000$ (perte) avec une probabilité de $0{,}2$ . Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

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Espérance, variance et écart-type d'une variable

Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité : $P(X = 10) = 0{,}2$ , $P(X = 20) = 0{,}5$ et $P(X = 30) = 0{,}3$ . Calculer l'espérance $E(X)$ , la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ .

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Gain moyen d'une opération promotionnelle

Un magasin lance une opération promotionnelle. Pour chaque client concerné, le gain $X$ (en euros) pour le magasin vaut $12$ avec une probabilité de $0{,}25$ , $4$ avec une probabilité de $0{,}45$ , ou $-6$ avec une probabilité de $0{,}30$ (quand le client n'utilise que des bons de réduction). Calculer l'espérance de gain par client et dire si l'opération est rentable en moyenne.

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Bonus

Comparer deux opérations commerciales (gain et risque)

Une entreprise hésite entre deux opérations commerciales. Pour l'opération A, le gain $X_A$ (en euros) vaut $10$ avec une probabilité de $0{,}6$ et $-5$ avec une probabilité de $0{,}4$ . Pour l'opération B, le gain $X_B$ vaut $6$ avec une probabilité de $0{,}8$ et $-4$ avec une probabilité de $0{,}2$ . 1) Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$ . 2) Calculer $\sigma(X_A)$ et $\sigma(X_B)$ . 3) Quelle opération conseiller, et pourquoi ?

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Probabilité manquante puis espérance

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $50$ , $20$ et $-10$ . On sait que $P(X = 50) = 0{,}3$ et $P(X = -10) = 0{,}2$ , mais $P(X = 20)$ est inconnue. 1) Déterminer $P(X = 20)$ . 2) Calculer l'espérance $E(X)$ et préciser son signe.

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Succès d'une vente : loi de Bernoulli complète

Un commercial contacte un client : la vente aboutit avec une probabilité $p = 0{,}4$ , sinon elle échoue. On note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la vente aboutit et $0$ sinon. 1) Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Dresser la loi de probabilité de $X$ . 3) Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ (valeur arrondie au centième), et interpréter $E(X)$ .

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire en première STMG ?

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire. Par exemple, si on tire une commande au hasard, on peut lui associer le bénéfice réalisé en euros : ce bénéfice est une variable aléatoire, souvent notée X. Sa loi de probabilité est le tableau qui donne, pour chaque valeur possible, la probabilité de l'obtenir. La somme de toutes ces probabilités vaut toujours 1.

Comment interpréter l'espérance d'une variable aléatoire ?

L'espérance de X, notée E de X, se calcule en multipliant chaque valeur possible par sa probabilité, puis en additionnant tous ces produits. Elle représente la valeur moyenne attendue si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. En gestion, quand X est un gain en euros, l'espérance est le gain moyen attendu par opération : si elle est positive, l'opération est en moyenne rentable ; si elle est négative, elle est en moyenne perdante.

Qu'est-ce que la loi de Bernoulli et quand l'utilise-t-on ?

On utilise la loi de Bernoulli quand une expérience n'a que deux issues, appelées succès et échec. On note p la probabilité du succès, donc 1 moins p celle de l'échec. La variable aléatoire vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec : elle suit alors une loi de Bernoulli de paramètre p. Son espérance vaut p et sa variance vaut p multiplié par 1 moins p. C'est le modèle de base pour décrire la réussite ou l'échec d'une vente, d'un contrôle ou d'une livraison.