Aller au contenu
Rêves Vision
Première STMG

Gain moyen d'une opération promotionnelle

Énoncé

Un magasin lance une opération promotionnelle. Pour chaque client concerné, le gain XX (en euros) pour le magasin vaut 1212 avec une probabilité de 0,250{,}25, 44 avec une probabilité de 0,450{,}45, ou −6-6 avec une probabilité de 0,300{,}30 (quand le client n'utilise que des bons de réduction). Calculer l'espérance de gain par client et dire si l'opération est rentable en moyenne.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par vérifier que la somme des trois probabilités vaut bien 11.
  2. Applique E(X)=∑xi piE(X) = \sum x_i\, p_i en n'oubliant pas que −6-6 est une valeur négative.
  3. Une espérance strictement positive signifie que l'opération rapporte en moyenne ; négative, qu'elle fait perdre en moyenne.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier la loi de probabilité

    Les valeurs sont xi=12, 4, −6x_i = 12,\ 4,\ -6 avec pi=0,25, 0,45, 0,30.p_i = 0{,}25,\ 0{,}45,\ 0{,}30. La somme des probabilités vaut 0,25+0,45+0,30=10{,}25 + 0{,}45 + 0{,}30 = 1 : la loi est correcte.

  2. 2. Écrire l'espérance

    E(X)=∑xi pi=12×0,25+4×0,45+(−6)×0,30.E(X) = \sum x_i\, p_i = 12 \times 0{,}25 + 4 \times 0{,}45 + (-6) \times 0{,}30.

  3. 3. Calculer chaque terme

    12×0,25=312 \times 0{,}25 = 3,   4×0,45=1,8\;4 \times 0{,}45 = 1{,}8,   (−6)×0,30=−1,8.\;(-6) \times 0{,}30 = -1{,}8. D'où E(X)=3+1,8−1,8=3.E(X) = 3 + 1{,}8 - 1{,}8 = 3.

  4. 4. Conclure et interpréter

    L'espérance de gain est E(X)=3E(X) = 3 euros par client. Elle est positive, donc l'opération est en moyenne rentable : sur un grand nombre de clients, le magasin gagne environ 33 euros par client, même si certains clients lui font perdre de l'argent.
Réponse finale
E(X)=12×0,25+4×0,45+(−6)×0,30=3E(X) = 12 \times 0{,}25 + 4 \times 0{,}45 + (-6) \times 0{,}30 = 3
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Variable aléatoire, espérance et loi de Bernoulli ← Retour au cours

À suivre