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Rêves Vision
Première ST2S

Comparer deux évolutions dans un hôpital

Énoncé

On suit deux indicateurs à partir de la même semaine, comptés en nombre de personnes.

Le nombre de patients pris en charge par un service A part de 300300 et augmente toujours de 4040 chaque semaine : on le modélise par la suite (an)(a_n) avec a0=300a_0 = 300.

Le nombre de cas d'une maladie contagieuse B part de 120120 et augmente de 30 %30\,\% chaque semaine : on le modélise par la suite (bn)(b_n) avec b0=120b_0 = 120.

1. Donner la nature de chaque suite, puis exprimer ana_n et bnb_n en fonction de nn.
2. Calculer a5a_5, b5b_5, a6a_6 et b6b_6 (arrondir bnb_n à l'unité).
3. Au bout de combien de semaines le nombre de cas B dépasse-t-il pour la première fois le nombre de patients du service A ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 30 %30\,\%, c'est multiplier par un coefficient multiplicateur : lequel ? La suite de B est-elle arithmétique ou géométrique ?
  2. Écris les deux termes généraux an=300+40 na_n = 300 + 40\,n et bn=120×1,3 nb_n = 120 \times 1{,}3^{\,n}, puis dresse un petit tableau de valeurs pour n=0,1,2,…,6n = 0, 1, 2, \ldots, 6.
  3. Repère le premier rang nn où bnb_n devient strictement supérieur à ana_n : compare a5a_5 avec b5b_5, puis a6a_6 avec b6b_6.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature des deux suites

    Pour le service A, on ajoute toujours 4040 : an+1=an+40a_{n+1} = a_n + 40, donc (an)(a_n) est arithmeˊtique\textbf{arithmétique} de raison r=40r = 40. D'après la formule an=a0+n ra_n = a_0 + n\,r, on obtient an=300+40 na_n = 300 + 40\,n.

    Pour la maladie B, augmenter de 30 %30\,\% revient à multiplier par CM=1+30100=1,3\text{CM} = 1 + \dfrac{30}{100} = 1{,}3, donc bn+1=1,3×bnb_{n+1} = 1{,}3 \times b_n : (bn)(b_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,3q = 1{,}3. D'après la formule bn=b0×q nb_n = b_0 \times q^{\,n}, on obtient bn=120×1,3 nb_n = 120 \times 1{,}3^{\,n}.

  2. 2. Calculer les termes à la 5e et à la 6e semaine

    Pour le service A : a5=300+40×5=500a_5 = 300 + 40 \times 5 = 500 et a6=300+40×6=540.a_6 = 300 + 40 \times 6 = 540.

    Pour la maladie B : b5=120×1,35=120×3,71293≈446b_5 = 120 \times 1{,}3^{5} = 120 \times 3{,}71293 \approx 446 et b6=120×1,36=120×4,826809≈579.b_6 = 120 \times 1{,}3^{6} = 120 \times 4{,}826809 \approx 579.

  3. 3. Comparer semaine par semaine

    À la 5e5^{\text{e}} semaine, b5≈446<a5=500b_5 \approx 446 < a_5 = 500 : la maladie B est encore en dessous. À la 6e6^{\text{e}} semaine, b6≈579>a6=540b_6 \approx 579 > a_6 = 540 : le nombre de cas B passe devant. C'est donc entre la 5e5^{\text{e}} et la 6e6^{\text{e}} semaine que B rattrape puis dépasse A.

  4. 4. Conclure

    Le plus petit entier nn pour lequel bn>anb_n > a_n est n=6n = 6. La croissance géométrique de B (multiplication par 1,31{,}3) finit par l'emporter sur la croissance arithmétique de A (ajout de 4040).

    C’est aˋ partir de la 6e semaine que le nombre de cas B deˊpasse le service A.\textbf{C'est à partir de la 6}^{\textbf{e}} \textbf{ semaine que le nombre de cas B dépasse le service A.}
Réponse finale
an=300+40 n, bn=120×1,3 n ;bn>an pour la premieˋre fois aˋ n=6a_n = 300 + 40\,n,\ b_n = 120 \times 1{,}3^{\,n}\ ;\quad b_n > a_n \text{ pour la première fois à } n = 6
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