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Rêves Vision
Première ST2S

Sens de variation de deux suites

Énoncé

Un hôpital suit deux indicateurs d'activité.

1. Le nombre de patients en attente d'une place chaque jour est modélisé par la suite (un)(u_n) arithmétique de premier terme u0=50u_0 = 50 et de raison r=3r = -3. Étudier le sens de variation de (un)(u_n), puis calculer u6u_6.

2. Le nombre de consultations en télémédecine, en milliers par mois, est modélisé par la suite (vn)(v_n) géométrique de premier terme v0=300v_0 = 300 et de raison q=1,08q = 1{,}08. Étudier le sens de variation de (vn)(v_n), puis calculer v4v_4 (arrondi au centième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour une suite arithmétique, regarde le signe de la raison rr ; pour une suite géométrique de premier terme positif, compare la raison qq à 11.
  2. Terme général arithmétique : un=u0+nru_n = u_0 + n\,r. Terme général géométrique : vn=v0×qnv_n = v_0 \times q^{\,n}.
  3. Pour v4v_4, calcule d'abord 1,0841{,}08^{4} à la calculatrice, puis multiplie par 300300.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1. Variation de la suite arithmétique

    Pour une suite arithmétique, le sens de variation est donné par le signe de la raison. Ici r=3<0r = -3 < 0, donc la suite (un)(u_n) est strictement deˊcroissante\textbf{strictement décroissante} : le nombre de patients en attente diminue chaque jour.
  2. 2. Calculer u indice 6

    On applique un=u0+nru_n = u_0 + n\,r : u6=50+6×(3)=5018=32.u_6 = 50 + 6 \times (-3) = 50 - 18 = 32.
  3. 3. Variation de la suite géométrique

    Pour une suite géométrique de premier terme strictement positif, le sens de variation dépend de la raison qq. Ici v0=300>0v_0 = 300 > 0 et q=1,08>1q = 1{,}08 > 1, donc la suite (vn)(v_n) est strictement croissante\textbf{strictement croissante} : le nombre de consultations augmente.
  4. 4. Calculer v indice 4

    On applique vn=v0×qnv_n = v_0 \times q^{\,n} : v4=300×1,084=300×1,36048896=408,146688.v_4 = 300 \times 1{,}08^{4} = 300 \times 1{,}36048896 = 408{,}146688.

    Conclusion : (un) est deˊcroissante avec u6=32, et (vn) est croissante avec v4408,15 milliers de consultations.\textbf{Conclusion : } (u_n) \textbf{ est décroissante avec } u_6 = 32 \textbf{, et } (v_n) \textbf{ est croissante avec } v_4 \approx 408{,}15 \textbf{ milliers de consultations.}
Réponse finale
(un) deˊcroissante, u6=32 ;(vn) croissante, v4408,15(u_n)\ \text{décroissante},\ u_6 = 32\ ;\quad (v_n)\ \text{croissante},\ v_4 \approx 408{,}15

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