Recherche d'un seuil : campagne de vaccination

Lors d'une campagne de vaccination, $2\,000$ personnes sont vaccinées le premier mois. Grâce à la mobilisation des centres, ce nombre cumulé augmente de $25\,\%$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre de personnes vaccinées au bout de $n$ mois, donc $u_0 = 2\,000$.

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. À partir de combien de mois le nombre de personnes vaccinées dépassera-t-il $5\,000$ ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.