Aller au contenu
Rêves Vision
Première ST2S

Recherche d'un seuil : population de personnes âgées

Énoncé

Dans un territoire, on suit le nombre de personnes âgées de plus de 7575 ans bénéficiant d'une aide à domicile. Au début de l'étude, elles sont 500500, et ce nombre augmente de 4 %4\,\% chaque année. On note unu_n ce nombre au bout de nn années, donc u0=500u_0 = 500.

1. Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. À partir de combien d'années le nombre de bénéficiaires dépassera-t-il 600600 ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 4 %4\,\%, c'est multiplier par un coefficient multiplicateur : lequel ?
  2. Écris le terme général un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, puis teste des valeurs entières de nn avec la calculatrice.
  3. Calcule u4u_4 puis u5u_5 : repère entre quelles deux valeurs de nn la suite franchit 600600.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature de la suite

    Augmenter de 4 %4\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1+4100=1,041 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04. On a donc un+1=1,04×unu_{n+1} = 1{,}04 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,04q = 1{,}04 et de premier terme u0=500u_0 = 500.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=500×1,04 n.u_n = 500 \times 1{,}04^{\,n}.

  3. 3. Encadrer le seuil

    On cherche le plus petit entier nn tel que un>600u_n > 600. À la calculatrice, on calcule les termes successifs : u4=500×1,044≈584,93u_4 = 500 \times 1{,}04^{4} \approx 584{,}93 et u5=500×1,045≈608,33.u_5 = 500 \times 1{,}04^{5} \approx 608{,}33.

  4. 4. Conclure

    On a u4≈584,93<600u_4 \approx 584{,}93 < 600 alors que u5≈608,33>600u_5 \approx 608{,}33 > 600. La suite franchit donc le seuil entre la 4e4^{\text{e}} et la 5e5^{\text{e}} année.

    C’est aˋ partir de la 5e anneˊe que le nombre de beˊneˊficiaires deˊpasse 600.\textbf{C'est à partir de la 5}^{\textbf{e}} \textbf{ année que le nombre de bénéficiaires dépasse 600.}
Réponse finale
un=500×1,04 n ;le seuil de 600 est deˊpasseˊ aˋ partir de n=5u_n = 500 \times 1{,}04^{\,n}\ ;\quad \text{le seuil de } 600 \text{ est dépassé à partir de } n = 5
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Suites arithmétiques et géométriques ← Retour au cours

À suivre