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Rêves Vision
Première STMG

Équation de la tangente à une parabole

Énoncé

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−4x+1f(x) = x^{2} - 4x + 1. On note C\mathcal{C} sa courbe représentative. Déterminer l'équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse a=3a = 3.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'équation de la tangente au point d'abscisse aa est y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a) : tu as besoin de deux nombres, f(a)f(a) et f′(a)f'(a).
  2. Calcule d'abord f(3)f(3) en remplaçant xx par 33 dans f(x)f(x), c'est l'ordonnée du point de contact.
  3. Calcule la dérivée f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4, puis f′(3)f'(3) : c'est le coefficient directeur. Remplace ensuite dans la formule et développe.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer l'ordonnée du point de contact

    On calcule f(3)f(3) en remplaçant xx par 33 : f(3)=32−4×3+1=9−12+1=−2.f(3) = 3^{2} - 4 \times 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2. Le point de contact a pour coordonnées (3 ; −2).(3\,;\, -2).

  2. 2. Calculer la fonction dérivée

    On dérive terme à terme : (x2)′=2x\left(x^{2}\right)' = 2x, (−4x)′=−4\left(-4x\right)' = -4 et (1)′=0.\left(1\right)' = 0. Donc f′(x)=2x−4.f'(x) = 2x - 4.

  3. 3. Calculer le coefficient directeur de la tangente

    Le coefficient directeur est le nombre dérivé en 33 : f′(3)=2×3−4=6−4=2.f'(3) = 2 \times 3 - 4 = 6 - 4 = 2.

  4. 4. Écrire et développer l'équation de la tangente

    On remplace dans y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a) avec a=3a = 3, f′(3)=2f'(3) = 2 et f(3)=−2f(3) = -2 : y=2 (x−3)+(−2)=2x−6−2=2x−8.y = 2\,(x - 3) + (-2) = 2x - 6 - 2 = 2x - 8. L'équation de la tangente est y=2x−8y = 2x - 8.
Réponse finale
y=2x−8y = 2x - 8
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